ベルヌーイ分布と二項分布

本記事では，二項分布について解説します．

ベルヌーイ分布は学習指導要領外ではありますが，せっかくなので触れたいと思います．

ベルヌーイ分布

何か確率的な行いを一度して，ある事象 $\mathrm{A}$ が起これば $1$，事象 $\mathrm{A}$ が起らなければ $0$ となる確率変数 $X$ について考えます．

少し抽象的なのでいくつか例を挙げます．

このような確率変数に関して，確率変数が $1$ となる確率を$\mathrm{P}(X=1) = p$とすると，$\mathrm{P}(X=0) = (1 - p)$ となります．

このような確率分布をベルヌーイ分布といい，以下の式で表されます．

ベルヌーイ分布．
$\mathrm{P}(X=x) = p^x (1-p)^{1-x}$

　　　

上述の確率変数の例を用いて，ベルヌーイ分布の例を見てみましょう．

上記の例1の場合，ベルヌーイ分布は，
$\begin{aligned} \mathrm{P}(X=x )= \left( \frac{1}{2} \right)^x \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x} = \frac{1}{2} \end{aligned}$
となります．
例2の場合，ベルヌーイ分布は，
$\begin{aligned} \mathrm{P}(X=x )= \left( \frac{1}{3} \right)^x \left( \frac{2}{3} \right)^{1-x} \end{aligned}$
となります．

ベルヌーイ分布の平均と分散

続いて，ベルヌーイ分布の平均と分散を求めてみましょう．

ベルヌーイ分布の平均 $\mathrm{E}(X)$ は，
$\begin{aligned} \mathrm{E}(X) &= 1 \times p + 0 \times (1-p) \\ &= p \end{aligned}$

ベルヌーイ分布の分散 $\mathrm{V}(X)$ は，
$\begin{aligned} \mathrm{V}(X) &= (1-p)^2 p + (0-p)^2 (1-p) \\ &= p^3 - 2 p^2 + p + p^2 - p^3 \\ &= - p^2 + p \\ &= p \, (1 - p) \end{aligned}$

まとめると以下のようになります．

ベルヌーイ分布の平均と分散
$\begin{aligned} \mathrm{E}(X) = p \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mathrm{V}(X) = p \, (1 - p) \end{aligned}$

二項分布

次に，ベルヌーイ分布に従う試行を $n$ 回行うことを考えます．そこで事象 $\mathrm{A}$ が起きる回数を確率変数 $X$ とおきます．

これも少し抽象的なので，例をいくつか挙げてみましょう．

1回の試行で事象 $\mathrm{A}$ が起きる確率を $p$ とすると，この確率変数は以下の二項分布に従います．

二項分布．
$\mathrm{P}(X=x) = {}_n \mathrm{C}_x \, p^x \, (1-p)^{n-x}$
$(x = 0, 1, 2, \cdots , n)$

上記の例1の場合，二項分布は，
$\begin{aligned} \mathrm{P}(X=x )= {}_n \mathrm{C}_x \, \left( \frac{1}{2} \right)^x \left( \frac{1}{2} \right)^{n-x} = {}_n \mathrm{C}_x \, \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \end{aligned}$
となります．また例2の確率変数の場合，二項分布は，
$\begin{aligned} \mathrm{P}(X=x )= {}_n \mathrm{C}_x \, \left( \frac{1}{3} \right)^x \left( \frac{2}{3} \right)^{n-x} \end{aligned}$
となります．

二項分布の平均と分散

最後に二項分布の平均と分散を求めてみましょう．

二項分布の平均 $\mathrm{E}(X)$ は，
$\begin{aligned} \mathrm{E}(X) &= \sum_{x=0}^n x \cdot {}_n \mathrm{C}_x \, p^x \, (1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=1}^n \frac{n!}{(x-1)!(n-x)!} p^x \, (1-p)^{n-x} \\ &= np \, \sum_{x=1}^n \frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!} p^{x-1} \, (1-p)^{n-x} \\ &= np \, \sum_{x=1}^n \frac{(n-1)!}{(x-1)! \{ (n-1) - (x-1) \} !} p^{x-1} \, (1-p)^{(n-1) - (x-1)} \\ &= np \, \sum_{y=0}^{n-1} {}_{n-1} \mathrm{C}_y p^y \, (1-p)^{n - 1- y} \\ &= np \end{aligned}$

演習．
先述のベルヌーイ分布を利用すると，もっと簡単に二項分布の平均を求めることができます．試してみましょう．

ベルヌーイ分布の分散 $\mathrm{V}(X)$ を求めるために，$\mathrm{E}(X^2)$ を求めます．
$\begin{aligned} \mathrm{E}(X^2) &= n(n-1)p^2 + np \end{aligned}$
かなり省略しました．
ベルヌーイ分布の分散 $\mathrm{V}(X)$ は，
$\begin{aligned} \mathrm{V}(X) &= \mathrm{E}(X^2) - \{ \mathrm{E}(X) \}^2 \\ &= n(n-1)p^2 + np - (np)^2 \\ &= np(1-p) \end{aligned}$

分散と平均に関する等式を使っています．詳しくは，以下の記事をご参照ください．

データの分析の基本用語と定理

演習．
$\mathrm{E}(X^2)$ を求めましょう．

演習．
平均の場合と同様に，ベルヌーイ分布を用いると，簡単に二項分布の分散を求められます．試してみましょう．

　

二項分布の平均と分散をまとめて終わりにしたいと思います．

二項分布の平均と分散．
$\begin{aligned} \mathrm{E}(X) &= np \\ \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mathrm{V}(X) &= np(1-p) \\ \end{aligned}$

　　　　　　

「勝手気ままに高校数学」シリーズ一覧へ