積和公式と和積公式

本記事では，三角関数の積和公式と和積公式を証明します．
加法定理を使って証明しますので，加法定理がわからない人は以下の記事を参考にしてください．

三角関数の加法定理とその証明

積和公式

積和公式．
\begin{aligned} \sin{\alpha} \cos{\beta} &= \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)} \} \\ \cos{\alpha} \sin{\beta} &= \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} - \sin{(\alpha - \beta)} \} \\ \cos{\alpha} \cos{\beta} &= \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha - \beta)} \} \\ \sin{\alpha} \sin{\beta} &= - \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} - \cos{(\alpha - \beta)} \} \\ \end{aligned}

\sin{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)} \} の証明．
正弦の加法定理
\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}
と
\sin(\alpha - \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta}
を足して，
\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin{\alpha} \cos{\beta} \end{aligned}
\begin{aligned} \sin{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}

\cos{\alpha} \sin{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} - \sin{(\alpha - \beta)} \} の証明．
正弦の加法定理
\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}
から
\sin(\alpha - \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta}
を引いて，
\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cos{\alpha} \sin{\beta} \end{aligned}
\begin{aligned} \cos{\alpha} \sin{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} - \sin{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}

\cos{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha - \beta)} \} の証明．
余弦の加法定理
\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}
と
cos(\alpha - \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}
を足して，
\begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos{\alpha} \cos{\beta} \end{aligned}
\begin{aligned} \cos{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}

\sin{\alpha} \sin{\beta} = - \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} - \cos{(\alpha - \beta)} \} の証明．
余弦の加法定理
\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}
から
cos(\alpha - \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}
を引いて，
\begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = - 2 \sin{\alpha} \sin{\beta} \end{aligned}
\begin{aligned} \sin{\alpha} \sin{\beta} = - \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} - \cos{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}

和積公式

和積公式．
\begin{aligned} \sin{A} + \sin{B} &= 2 \sin{ \frac{A+B}{2} } \cos{ \frac{A - B}{2} } \\ \sin{A} - \sin{B} &= 2 \cos{ \frac{A+B}{2} } \sin{ \frac{A - B}{2} } \\ \cos{A} + \cos{B} &= 2 \cos{ \frac{A+B}{2} } \cos{ \frac{A - B}{2} } \\ \cos{A} - \cos{B} &= - 2 \sin{ \frac{A+B}{2} } \sin{ \frac{A - B}{2} } \\ \end{aligned}

\sin{A} + \sin{B} = 2 \sin{ \frac{A+B}{2} } \cos{ \frac{A - B}{2} } の証明．
\alpha + \beta = A ， \alpha - \beta = B とおく．
すると， \begin{aligned} \alpha = \frac{A + B}{2} \end{aligned} ， \begin{aligned} \beta = \frac{A - B}{2} \end{aligned} となる．
これらを積和公式
\begin{aligned} \sin{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}
に代入して，
\begin{aligned} \sin{\frac{A + B}{2}} \cos{\frac{A - B}{2}} = \frac{1}{2} ( \sin{A} + \sin{B} ) \end{aligned}
\begin{aligned} \sin{A} + \sin{B} = 2 \sin{\frac{A + B}{2}} \cos{\frac{A - B}{2}} \end{aligned}

\sin{A} - \sin{B} = 2 \cos{ \frac{A+B}{2} } \sin{ \frac{A - B}{2} } の証明．
\alpha + \beta = A ， \alpha - \beta = B とおく．
すると， \begin{aligned} \alpha = \frac{A + B}{2} \end{aligned} ， \begin{aligned} \beta = \frac{A - B}{2} \end{aligned} となる．
これらを積和公式
\begin{aligned} \cos{\alpha} \sin{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} - \sin{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}
に代入して，
\begin{aligned} \cos{\frac{A + B}{2}} \sin{\frac{A - B}{2}} = \frac{1}{2} ( \sin{A} - \sin{B} ) \end{aligned}
\begin{aligned} \sin{A} - \sin{B} = 2 \cos{\frac{A + B}{2}} \sin{\frac{A - B}{2}} \end{aligned}

\cos{A} + \cos{B} = 2 \cos{ \frac{A+B}{2} } \cos{ \frac{A - B}{2} } の証明．
\alpha + \beta = A ， \alpha - \beta = B とおく．
すると， \begin{aligned} \alpha = \frac{A + B}{2} \end{aligned} ， \begin{aligned} \beta = \frac{A - B}{2} \end{aligned} となる．
これらを積和公式
\begin{aligned} \cos{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}
に代入して，
\begin{aligned} \cos{\frac{A + B}{2}} \cos{\frac{A - B}{2}} = \frac{1}{2} ( \cos{A} + \cos{B} ) \end{aligned}
\begin{aligned} \cos{A} + \cos{B} = 2 \cos{\frac{A + B}{2}} \cos{\frac{A - B}{2}} \end{aligned}

\cos{A} - \cos{B} = - 2 \sin{ \frac{A+B}{2} } \sin{ \frac{A - B}{2} } の証明．
\alpha + \beta = A ， \alpha - \beta = B とおく．
すると， \begin{aligned} \alpha = \frac{A + B}{2} \end{aligned} ， \begin{aligned} \beta = \frac{A - B}{2} \end{aligned} となる．
これらを積和公式
\begin{aligned} \sin{\alpha} \sin{\beta} = - \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} - \cos{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}
に代入して，
\begin{aligned} \sin{\frac{A + B}{2}} \sin{\frac{A - B}{2}} = - \frac{1}{2} ( \cos{A} - \cos{B} ) \end{aligned}
\begin{aligned} \cos{A} - \cos{B} = - 2 \sin{\frac{A + B}{2}} \sin{\frac{A - B}{2}} \end{aligned}

　　

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