積和公式と和積公式

本記事では，三角関数の積和公式と和積公式を証明します．
加法定理を使って証明しますので，加法定理がわからない人は以下の記事を参考にしてください．

三角関数の加法定理とその証明

積和公式

積和公式．
$\begin{aligned} \sin{\alpha} \cos{\beta} &= \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)} \} \\ \cos{\alpha} \sin{\beta} &= \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} - \sin{(\alpha - \beta)} \} \\ \cos{\alpha} \cos{\beta} &= \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha - \beta)} \} \\ \sin{\alpha} \sin{\beta} &= - \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} - \cos{(\alpha - \beta)} \} \\ \end{aligned}$

$\sin{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)} \}$ の証明．
正弦の加法定理
$\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}$
と
$\sin(\alpha - \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta}$
を足して，
$\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin{\alpha} \cos{\beta} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sin{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}$

$\cos{\alpha} \sin{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} - \sin{(\alpha - \beta)} \}$ の証明．
正弦の加法定理
$\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}$
から
$\sin(\alpha - \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta}$
を引いて，
$\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cos{\alpha} \sin{\beta} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \cos{\alpha} \sin{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} - \sin{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}$

$\cos{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha - \beta)} \}$ の証明．
余弦の加法定理
$\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}$
と
$cos(\alpha - \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}$
を足して，
$\begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos{\alpha} \cos{\beta} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \cos{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}$

$\sin{\alpha} \sin{\beta} = - \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} - \cos{(\alpha - \beta)} \}$ の証明．
余弦の加法定理
$\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}$
から
$cos(\alpha - \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}$
を引いて，
$\begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = - 2 \sin{\alpha} \sin{\beta} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sin{\alpha} \sin{\beta} = - \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} - \cos{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}$

和積公式

和積公式．
$\begin{aligned} \sin{A} + \sin{B} &= 2 \sin{ \frac{A+B}{2} } \cos{ \frac{A - B}{2} } \\ \sin{A} - \sin{B} &= 2 \cos{ \frac{A+B}{2} } \sin{ \frac{A - B}{2} } \\ \cos{A} + \cos{B} &= 2 \cos{ \frac{A+B}{2} } \cos{ \frac{A - B}{2} } \\ \cos{A} - \cos{B} &= - 2 \sin{ \frac{A+B}{2} } \sin{ \frac{A - B}{2} } \\ \end{aligned}$

$\sin{A} + \sin{B} = 2 \sin{ \frac{A+B}{2} } \cos{ \frac{A - B}{2} }$ の証明．
$\alpha + \beta = A$，$\alpha - \beta = B$とおく．
すると，$\begin{aligned} \alpha = \frac{A + B}{2} \end{aligned}$，$\begin{aligned} \beta = \frac{A - B}{2} \end{aligned}$となる．
これらを積和公式
$\begin{aligned} \sin{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}$
に代入して，
$\begin{aligned} \sin{\frac{A + B}{2}} \cos{\frac{A - B}{2}} = \frac{1}{2} ( \sin{A} + \sin{B} ) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sin{A} + \sin{B} = 2 \sin{\frac{A + B}{2}} \cos{\frac{A - B}{2}} \end{aligned}$

$\sin{A} - \sin{B} = 2 \cos{ \frac{A+B}{2} } \sin{ \frac{A - B}{2} }$ の証明．
$\alpha + \beta = A$，$\alpha - \beta = B$とおく．
すると，$\begin{aligned} \alpha = \frac{A + B}{2} \end{aligned}$，$\begin{aligned} \beta = \frac{A - B}{2} \end{aligned}$となる．
これらを積和公式
$\begin{aligned} \cos{\alpha} \sin{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} - \sin{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}$
に代入して，
$\begin{aligned} \cos{\frac{A + B}{2}} \sin{\frac{A - B}{2}} = \frac{1}{2} ( \sin{A} - \sin{B} ) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sin{A} - \sin{B} = 2 \cos{\frac{A + B}{2}} \sin{\frac{A - B}{2}} \end{aligned}$

$\cos{A} + \cos{B} = 2 \cos{ \frac{A+B}{2} } \cos{ \frac{A - B}{2} }$ の証明．
$\alpha + \beta = A$，$\alpha - \beta = B$とおく．
すると，$\begin{aligned} \alpha = \frac{A + B}{2} \end{aligned}$，$\begin{aligned} \beta = \frac{A - B}{2} \end{aligned}$となる．
これらを積和公式
$\begin{aligned} \cos{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}$
に代入して，
$\begin{aligned} \cos{\frac{A + B}{2}} \cos{\frac{A - B}{2}} = \frac{1}{2} ( \cos{A} + \cos{B} ) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \cos{A} + \cos{B} = 2 \cos{\frac{A + B}{2}} \cos{\frac{A - B}{2}} \end{aligned}$

$\cos{A} - \cos{B} = - 2 \sin{ \frac{A+B}{2} } \sin{ \frac{A - B}{2} }$ の証明．
$\alpha + \beta = A$，$\alpha - \beta = B$とおく．
すると，$\begin{aligned} \alpha = \frac{A + B}{2} \end{aligned}$，$\begin{aligned} \beta = \frac{A - B}{2} \end{aligned}$となる．
これらを積和公式
$\begin{aligned} \sin{\alpha} \sin{\beta} = - \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} - \cos{(\alpha - \beta)} \} \end{aligned}$
に代入して，
$\begin{aligned} \sin{\frac{A + B}{2}} \sin{\frac{A - B}{2}} = - \frac{1}{2} ( \cos{A} - \cos{B} ) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \cos{A} - \cos{B} = - 2 \sin{\frac{A + B}{2}} \sin{\frac{A - B}{2}} \end{aligned}$

　　

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