約数と倍数の基本的な定理

約数や倍数は小学生の頃から親しんできた概念です．本記事で紹介する定理の中には，当たり前に使われる定理もあります．しかし，いざ証明するとなると意外と難しいものもありますので，じっくりと取り組んでみましょう．可能であれば，自力で証明を考えてみるのも良いでしょう．

約数と倍数の定義

整数$a$，$b$，$q$が以下の等式，
$a = bq 　(b \neq 0)$
を満たすとき，$a$は$b$で割り切れるといい，また，$a$を$b$の倍数，$b$を$a$の約数といいます．

公倍数と公約数

二つ以上の整数に共通な倍数を公倍数といいます．また，正の公倍数のうち最小のものを最小公倍数(Least Common Multiple)といいます．

二つ以上の整数に共通な約数を公約数といいます．また，公約数のうち最大のものを最大公約数(Greatest Common Divisor)といいます．
二つの整数$a$，$b$の最大公約数を$(a,b)$と表すこともあります．例えば，$(12,18) = 6$といった表記です．
二つの整数の最大公約数が$1$であるとき，互いに素であるといいます．

これ以降の節では，公倍数や公約数に関する重要な定理を証明します．

公倍数は最小公倍数の倍数である

定理1．
二つ以上の整数の任意の公倍数は，最小公倍数の倍数である．

証明．
整数$a, b, c, \cdots \cdots$の最小公倍数を$l$，公倍数を$m$とする．
定理を証明するためには，$m=lq+r　(0 \leqq r < l)$に関して$r=0$となることを示せば良い．$m=lq+r$を変形して，
$r = m - lq$
右辺$m - lq$は$m$，$l$どちらも，$a,b,c, \cdots \cdots$倍数なので，左辺の$r$も$a,b,c, \cdots \cdots$の倍数，つまり$r$は$a,b,c, \cdots \cdots$の公倍数である．$l$は最小公倍数であり，$r$の範囲は$0 \leqq r < l$であることから，$r = 0$である．
よって，二つ以上の整数の任意の公倍数は，最小公倍数の倍数である．

公約数は最大公約数の約数である

定理2．
二つ以上の整数の任意の公約数は，最大公約数の約数である．

証明．
整数$a, b, c, \cdots \cdots$の公約数$d$が最大公約数$m$の約数であることを示すために，$d$と$m$の最小公倍数が$m$であることを示す¹$d$が$m$の約数である
$\Leftrightarrow$　$m=dq$と表すことができる
$\Leftrightarrow$　$d$と$m$の最小公倍数が$m$である．
$d$と$m$の最小公倍数を$l$とおく．
$a$は$d$の倍数であり，同時に$m$の倍数であるため，$a$は$d$と$m$公倍数である．$l$は最小公倍数なので，定理1より，$a$は$l$の倍数である²逆にいうと$l$は$a$の約数である．．同様に，$b, c, \cdots \cdots$は$l$の倍数なので，$l$は$a, b, c, \cdots \cdots$の公約数である．よって，
$l \leqq m$
一方で，$l$は$d$と$m$の公倍数なので，
$l \geqq m$
よって，$l = m$となり，$d$と$m$の最小公倍数が$m$であることが示された．

その他の重要な定理

定理3．
自然数$a$，$b$の最小公倍数$l$を最大公約数$m$をとすると，以下の等式が成り立つ．
$ab = lm$

証明．
$l$は，$a$と$b$の公倍数より，
$l = ab^{\prime} = a^{\prime}b$
$ab$は$a$と$b$の公倍数より，$ab$は$l$の倍数である(定理1)ことから，
$ab = dl$
この式の$l$に$l = ab^{\prime}$と$l = a^{\prime}b$を代入して，
$ab = dab^{\prime}$
つまり，
$b = db^{\prime}$
また，$ab = da^{\prime}b$から
$a = da^{\prime}$
$d$は$a$，$b$の公約数であるから，
$m=de$とする．
$a$，$b$は$m$で割り切れるため，$a^{\prime}$，$b^{\prime}$は$e$で割り切れる³$a = da^{\prime}$の左辺を$m$，つまり$de$で割り切れるので，右辺も割り切れる．$b = db^{\prime}$も同様．．
$a^{\prime} = ea^{\prime \prime}$，$b^{\prime} = eb^{\prime \prime}$とおいて，$l = ab^{\prime} = a^{\prime}b$に代入すると，
$l = aeb^{\prime \prime} = ea^{\prime \prime}b$
$\frac{l}{e} = ab^{\prime \prime} = a^{\prime \prime}b$
$\frac{l}{e}$は$a$と$b$の公倍数となるが，$l$は$a$と$b$の最小公倍数より，
$e = 1$
$m=de$より，$m=d$
また，$ab = dl$より，$ab = lm$

定理4．
互いに素である整数$a$，$b$に関して，$bc$が$a$で割り切れるなら，$c$は$a$で割り切れる．

証明．
定理3より，最大公約数が$1$なので，最小公倍数は$ab$である．
また，$bc$は$a$の倍数なので，$bc$は$a$と$b$の公倍数である．したがって，定理1より，$bc$は$ab$の倍数であることが分かる．
故に，$\frac{bc}{ab} = \frac{c}{a}$が整数になり，$c$は$a$で割り切れることが示された．

公約数に関する演習問題

演習問題．
$(a,b) = (a-bq,b)$であることを示せ．
（$a$と$b$の最大公約数と$a-bq$と$b$の最大公約数が等しいことを示せ）

余談

この記事は，高木貞治著『初等整数論講義 第2版』で学習した内容の再構築も兼ねています．
（定理の並びがほぼそのままかと思います）

また，最後の演習問題はユークリッドの互除法に繋がります．もちろん，ユークリッドの互除法の記事も書きます．間違いなく拡張ユークリッドの互除法もやりますし，当然プログラムも書きます．プログラミングにも繋がるなんて，令和7年度大学入試から必須となる「情報Ⅰ」の勉強もできてお得ですね．

　

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