一度は証明したい三角比の重要定理 〜基本的な公式，正弦定理，余弦定理〜
本記事では，三角比の重要な定理，公式を証明したいと思います．証明方法は記事に書かれているものが全てではありませんので，自力で考えてみるのも良いでしょう．証明を経験することで，定理の暗記もスムーズなものとなり，また，忘れてしまった場合も自力で導き出せるようになります．
なお特別に断りがない場合は，執筆時点の学習指導要領に合わせて，0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}とします．
基本的な公式
公式．
\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
証明．
単位円で考えると，\cos{\theta} = x，\sin{\theta} = y，\tan{\theta} = \frac{y}{x}なので，
\tan{\theta} = \frac{y}{x} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
公式．
\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1
証明．
単位円について，円周上の点Pからx軸への垂線の足をHとおき，\bigtriangleup \mathrm{PHO}に関して三平方の定理より，
\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1
公式．
1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}
証明．
\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1の両辺に\cos^2{\theta} で割って，1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}
余角公式 ( 90^{\circ} -\theta )
余角公式 (0^{\circ} < \theta < 90^{\circ} )
\sin{(90^{\circ} - \theta)} = \cos{\theta}
\cos{(90^{\circ} - \theta)} = \sin{\theta}
\tan{(90^{\circ} - \theta)} = \frac{1}{\tan{\theta}}
証明．
直角三角形の1つの鋭角を\thetaとすると，もう一方の鋭角は90^{\circ} - \thetaとなる．そこから，余角公式をただちに求めることができる．
正弦定理
正弦定理．
\bigtriangleup \mathrm{ABC}の外接円の半径をRとすると，
\frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}} = 2R
証明．
\frac{a}{\sin{A}} = 2Rを証明する．
A < 90^{\circ}の場合，
同一の弧に対する円周角は等しいので，円周上の点\mathrm{D}を\mathrm{BD}が外心円の中心を通るようにすると，
\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{BDC}
\angle \mathrm{ABD} = 90^{\circ}より，
\begin{aligned}
\sin{D} &= \frac{a}{2R} \\
a &= 2R \sin{D} \\
a &= 2R\sin{A} \\
\frac{a}{\sin{A}} &= 2R
\end{aligned}
A = 90^{\circ}の場合，
辺\mathrm{BC}は外心円の中心を通るので，
a = 2R = 2R \cdot 1 = 2R \sin{A}
よって，
\frac{a}{\sin{A}} = 2R
A > 90^{\circ}の場合，
\mathrm{BD}が外接円の中心を通るように，円周上に点\mathrm{D}をとる．四角形\mathrm{ABDC}は円に内接しているため，円に内接する四角形の性質より，
A = 180^{\circ} - Dより，\bigtriangleup \mathrm{BCD}に着目して，
\begin{aligned}
\sin{D} &= \frac{a}{2R} \\
a &= 2R \sin{D} \\
a &= 2R\sin{A} \\
\frac{a}{\sin{A}} &= 2R
\end{aligned}
よって，\frac{a}{\sin{A}} = 2Rが成り立つ．
また，\frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}} = 2Rも同様に求められる．
余弦定理
第1余弦定理．
\bigtriangleup \mathrm{ABC}について以下の等式が成り立つ．
\begin{cases}
a &= b \cos{C} + c \cos{B} \cdots (1) \\
b &= c \cos{A} + a \cos{C} \cdots (2) \\
c &= a \cos{B} + b \cos{A} \cdots (3) \\
\end{cases}
証明．
頂点\mathrm{A}から辺\mathrm{BC}への垂線の足を\mathrm{H}とする．
\bigtriangleup \mathrm{ABH}に関して，
\begin{aligned}
\cos{B} &= \frac{\mathrm{BH}}{c} \\
\mathrm{BH} &= c\cos{B}
\end{aligned}
\bigtriangleup \mathrm{ACH}に関して，
\begin{aligned}
\cos{C} &= \frac{\mathrm{CH}}{b} \\
\mathrm{CH} &= b\cos{C}
\end{aligned}
a = \mathrm{BH} + \mathrm{CH} = b \cos{C} + c \cos{B}
他二つも同様に求められる．
第2余弦定理．
\bigtriangleup \mathrm{ABC}について以下の等式が成り立つ．
a^2 = b^2 +c^2 -2bc\cos{A}
b^2 = c^2 +a^2 -2ca\cos{B}
c^2 = a^2 +b^2 -2ab\cos{C}
証明．
第1余弦定理より，
(1) \times a - (2) \times b - (3) \times cをまとめると，
a^2 = b^2 +c^2 -2bc\cos{A}
他も同様に求められる．
第1余弦定理を用いない証明もしてみましょう．ここでは，座標を用いて証明します．
証明．
\bigtriangleup \mathrm{ABC}をxy直交座標の上に配置する．頂点\mathrm{A}の座標を(0,0)，頂点\mathrm{B}の座標を(c,0)となるようにすると，頂点\mathrm{C}の座標を(b\cos{A}, b\sin{A})となる．ここで，頂点\mathrm{A}から辺\mathrm{BC}への垂線の足を\mathrm{H}とし，\bigtriangleup \mathrm{BCH}に着目すると，
\begin{aligned}
a^2 &= (c-b\cos{A})^2 + (b\sin{A})^2 \\
&= c^2 -2bc\cos{A} +b^2 \cos^2{A} + b^2 \sin^2{A} \\
&= c^2 + b^2(\cos^2{A} + \sin^2{A}) -2bc\cos{A} \\
&= c^2 + b^2 - 2bc\cos{A}
\end{aligned}
この式はAが鋭角，直角，鈍角のいずれの場合でも同様となる1鈍角の場合だけ少し操作が必要．．
また，他の二つも同様に求めることができる．
最後に
別の記事でも言いましたが，三角比は数学Ⅰの中で最も慣れを要する概念です．ここで証明した定理を身につけるために，演習にも積極的に取り組みましょう．
