三角関数の導関数
本記事では三角関数の導関数を求めます．
三角関数の導関数
三角関数の導関数は以下のようになります．
三角関数の導関数．
\begin{aligned}
(\sin{x})^{\prime} = \cos{x} \\
(\cos{x})^{\prime} = - \sin{x} \\
(\tan{x})^{\prime} = \frac{1}{\cos^2{x}} \\
\end{aligned}
それでは，これらの導関数を証明していきましょう．
正弦(sin)の導関数の証明
(\sin{x})^{\prime} = \cos{x} の証明．
\begin{aligned}
(\sin{x})^{\prime} &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin{(x + h)} - \sin{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\sin{x} \cos{h} + \cos{x} \sin{h} - \sin{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\cos{x} \sin{h} -\sin{x}(1 - \cos{h})}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \left( \cos{x} \cdot \frac{\sin{h}}{h} - \sin{x} \cdot \frac{1 - \cos{h}}{h^2} \cdot h \right) \\
&= \cos{x}
\end{aligned}余弦(cos)の導関数の証明
(\cos{x})^{\prime} = - \sin{x} の証明．
\begin{aligned}
(\sin{x})^{\prime} &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin{(x + h)} - \sin{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\sin{x} \cos{h} + \cos{x} \sin{h} - \sin{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\cos{x} \sin{h} -\sin{x}(1 - \cos{h})}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \left( \cos{x} \cdot \frac{\sin{h}}{h} - \sin{x} \cdot \frac{1 - \cos{h}}{h^2} \cdot h \right) \\
&= \cos{x}
\end{aligned}正接(tan)の導関数の証明
\begin{aligned} (\tan{x})^{\prime} = \frac{1}{\cos^2{x}} \end{aligned} の証明．
\begin{aligned}
(\tan{x})^{\prime} &= \left( \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \right)^{\prime} \\
&= \frac{(\sin{x})^{\prime}\cos{x} - \sin{x}(\cos{x})^{\prime}}{\cos^2{x}} \\
&= \frac{\cos{x} \cdot \cos{x} - \sin{x}(- \sin{x})}{\cos^2{x}} \\
&= \frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}} \\
&= \frac{1}{\cos^2{x}}
\end{aligned}
