余事象を使いこなそう！（演習付き）
本記事では，余事象の解説と，余事象の確率を使う練習をしたいと思います．
余事象とは
全事象Uにおける事象Aに関して，「事象Aが起こらない事象」のことをAの余事象といいます．
AとAの余事象は互いに背反であり，
(事象Aが起こる確率) + (Aの余事象が起こる確率) = 1となります．
また，式を変形すると，
1 – (Aの余事象が起こる確率) = (事象Aが起こる確率)
となります．
確率の問題の中には，余事象の確率を考える方が楽な問題があります．
以下の演習問題で，余事象を使いこなす練習をしてみましょう．
演習問題
（１）
サイコロを3個ふって，4が少なくとも1つ出る確率を求めよ．
（２）
6個のサイコロをふって，全て異なる数字が出る確率を求めよ．
（３）
3個のサイコロをふって出た目の積が偶数となる確率を求めよ．
（４）
サイコロを2つふって，出た目の和が7となる確率を求めよ．
（５）
100〜999の数から1つを無作為に選び出すときに，選んだ数に1つ以上0が含まれる確率を求めよ．
（６）
あなたが所属している5人のグループがある．このグループの中にあなたと同じ誕生月の人がいる確率を求めよ．ただし，どの月に生まれる確率も\frac{1}{12}とする．
解答例
（１）
4が1つも出ない確率は，
\begin{aligned}
\left( \frac{5}{6} \right)^3 = \frac{125}{216}
\end{aligned}
「4が少なくとも1つ出る」の余事象は「4が１つも出ない」なので，4が少なくとも１つ出る確率は，
\begin{aligned}
1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}
\end{aligned}
余事象の確率を求めずとも，4が1つだけ出る確率，4が2つ出る確率，4が3つ出る確率を足し合わせることで確率を計算することもできます．しかし，余事象を用いた方が楽でしょう．
（２）
6個のサイコロをふって全て異なる数字が出る確率は，
\begin{aligned}
\frac{6}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{324}
\end{aligned}
余事象の記事の演習問題だからといって，必ずしも余事象を用いるとは限りません．
どのような問題で余事象を有効的に使えるか，判断するところから練習です．
（３）
積が偶数とならないのは(奇数)×(奇数)×(奇数)の場合のみである．よって，求める確率は，
\begin{aligned}
1 - \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{7}{8}
\end{aligned}
（４）
出た目の和が7となる組み合わせは(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)の6通りなので，
\begin{aligned}
\frac{6}{36} = \frac{1}{6}
\end{aligned}
余事象を使わない問題その2．
（５）
100〜999の数の個数は
999 - 100 + 1 = 900
「少なくとも1つ0が含まれている」の余事象は「1つも0が含まれていない」なので，求める確率は，
\begin{aligned}
1 - \frac{9^3}{900} &= 1 - \frac{81}{100} \\
&= \frac{19}{100}
\end{aligned}
（６）
「同じ誕生月の人がいる」の余事象は，「同じ誕生月の人がいない」であり，また，自分を除いたグループの人数は４人なので，求める確率は，
\begin{aligned}
1 - \left( \frac{11}{12} \right)^4 &= \frac{14641}{20736} \\
&= \frac{6095}{20736}
\end{aligned}
終わりに
余事象を使いこなせるようになったでしょうか．
まだ自信がないという方は，手持ちの問題集や参考書で練習してみましょう．
