円と直線の定理
本記事では，円と直線に関する定理を証明します．
円周角
円周角と中心角の定理．
1つの弧に対する中心角は，円周角の2倍である．
証明．
弧を\mathrm{AB}とし，円周上の点を\mathrm{P}，円の中心を\mathrm{O}とする．
ここで三角形\bigtriangleup \mathrm{AOP}と\bigtriangleup \mathrm{BOP}に着目する．
\angle \mathrm{APO} = \beta，\angle \mathrm{BPO} = \gammaとすると，2つの三角形は二等辺三角形（2辺の長さが円の半径と等しい）なので，弧\mathrm{AB}の中心角\angle \mathrm{AOB} は2つの三角形の外角の和となる．
つまり，\angle \mathrm{AOB} = 2 \beta + 2 \gamma = 2(\beta + \gamma)である．
一方で弧\mathrm{AB}の円周角\angle \mathrm{APB} = \beta + \gammaより，\angle \mathrm{AOB} = 2 \angle \mathrm{APB} が成り立つ．よって，1つの弧に対する中心角は，円周角の2倍であることが示された．
同一の弧であれば，円周角は必ず中心角の半分になることから，「1つの弧に対する円周角は常に等しい」という定理を導くことができます．
接弦定理
接弦定理．
円の接線と接点\mathrm{A}を通る弦\mathrm{AB}の成す角は，その角の内部に含まれる弧\mathrm{AB}に対する円周角\angle \mathrm{ACB}と等しい．
証明．
同一の弧の円周角は全て等しいので，\mathrm{AC}が円の中心を通るように，円周上の点\mathrm{C}を移動させる． このとき，円周角と中心角の関係より，\angle \mathrm{ABC} = 90^{\circ}が成り立つ．また，点\mathrm{A}は接点より，\mathrm{CA}と接線の成す角は90^{\circ}である．よって，円の接線と接点\mathrm{A}を通る弦\mathrm{AB}の成す角は， \angle \mathrm{ACB}と等しい．
方べきの定理1
方べきの定理．
円の2つの弦\mathrm{AB}と\mathrm{CD}の交点\mathrm{P}が円の内部にあるとき，以下の等式が成り立つ．
\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}
証明．
同一の弧の円周角は等しいことから，
\bigtriangleup \mathrm{APD} \text{∽} \bigtriangleup \mathrm{CPB}
よって，
\mathrm{PA} : \mathrm{PC} = \mathrm{PD} : \mathrm{PB}
\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}
方べきの定理2
方べきの定理．
円の2つの弦\mathrm{AB}と\mathrm{CD}の延長の交点\mathrm{P}が円の外部にあり，また点\mathrm{P}から円に引いた接線の接点を\mathrm{T}としたとき，以下の等式が成り立つ．
\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} = \mathrm{PT}^2
\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}の証明．
円に内接する四角形\mathrm{ABCD}の性質より，
\angle \mathrm{ADP} = \angle \mathrm{CBP}
したがって，
\bigtriangleup \mathrm{ADP} \text{∽} \bigtriangleup \mathrm{CBP}
よって，
\mathrm{PA} : \mathrm{PC} = \mathrm{PD} : \mathrm{PB}
\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}
円に内接する四角形の性質については以下の記事で確認できます．
\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2 の証明．
接弦定理より，\angle \mathrm{TAB} = \angle \mathrm{BTP}が成り立つので，
\bigtriangleup \mathrm{ATP} \text{∽} \bigtriangleup \mathrm{TBP}
よって，
\mathrm{PA} : \mathrm{PT} = \mathrm{PT} : \mathrm{PB}
\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2
