単項式・多項式・整式
中学では，数を文字で表すことを学びました．高校以降の数学でも文字は大活躍します．
この記事では，文字式の重要な言葉を説明していきます．
単項式
次の式を見てみましょう．
-4x^2y^3
この式を指数を使わずに，そして掛け算の記号を省略せずに書いてみます．
-4 \times x \times x \times y \times y \times y
このように，掛け算だけで表すことができました．
-4x^2y^3のように，数と文字の掛け算だけで表される式のことを，単項式と呼びます．
例えば，y^2，3a^2b^8c^3，-p^2q，t^2u^4，は全て単項式です．
また，掛けられている数の部分を係数と呼びます．
単項式 -4x^2y^3 の場合，係数は -4 です．
さて，単項式 y^2 の係数はいくつでしょうか．考えてみましょう．
指数を使わずに y^2 を表すと，
y \times y
となります．数に当たる部分が無いように見えますが，この場合は，
1 \times y \times y
と考え，係数は 1 となります．
では，-p^2q の係数はいくつでしょうか．
答えは文末の注釈でご確認ください1-1 \times p \times p \times qと表せるので，係数は-1です．．
多項式
単項式の和で表される式のことを多項式といいます．
例えば，3x^2+ 2xy + y^2 + 4y，2a^2 + 2b^2 + c^3，-p^2q + 5pq^3，x^2-2x + y は全て多項式です．
「x^2-2x + y には引き算が入っているぞ、本当に多項式なのか？」と疑問に思う方もいるでしょう．そこで，この式を x^2 + (-2)x + y と変形してみましょう．こうすると，単項式の和の形で表されている，つまり多項式であることが分かります．
多項式を構成する単項式，つまり，足し算で繋げられているパーツのことを項といいます．
4x^2 - 3xy + 2y^3 + 4y -5 という多項式を見てみましょう．
この多項式の場合，4x^2， - 3xy ， 2y^3 ， 4y，-5 がそれぞれ項となります．また，-5の項のように，数だけの項のことを定数項といいます．さらに，項ごとに係数を考えることができ，例えば，「x^2 の項の係数は 4」「4x^2 の項の係数は 4」といった表現ができます．
次に，以下の多項式を見てみましょう．
2a^2b^2 - 3a^2 + b^2 + 4ab -2b + 9 + 3a^2b^2 - 5ab
これまでに紹介した多項式と違い，文字の部分が同じ項があります．「2a^2b^2」と「3a^2b^2」，「4ab」と「- 5ab」がそれに当たります．
文字の部分が同じ項のことを同類項と呼びます．同類項は，以下のように計算してまとめることができます．
2a^2b^2 - 3a^2 + b^2 + 4ab -2b + 9 + 3a^2b^2 - 5ab
= 2a^2b^2 + 3a^2b^2 - 3a^2 + b^2 + 4ab - 5ab -2b + 9
= (2 + 3)a^2b^2 - 3a^2 + b^2 + (4 - 5)ab -2b + 9
= 5a^2b^2 - 3a^2 + b^2 -ab -2b + 9
また，多項式をある文字に着目して次数の高い項から順に並べることを，降べきの順に整理すると言います．例えば，3x^2y -2 + 2x - 3x^3 +9x^4 を x の降べきの順に整理すると，9x^4 - 3x^3 + 3x^2y + 2x -2 となります．
逆に，次数の低い項から順に並べることを，昇べきの順に整理すると言います．
整式
単項式と多項式を合わせて，整式と呼びます．
ここからの内容は大きな寄り道、余談となります．
「次数」の節まで飛ばしていただいても問題ありません．
「整式」という呼び方は，高校数学以外ではあまり見かけないため，高校生の間だけ覚えておき，大学受験が終わると同時に忘れてしまっても良いでしょう．というのも，大学以降の数学では，多くの場合，多項式が単項式を含むように定義されるからです．つまり，高校数学の「整式」と同じ意味で「多項式」が使われるようになります．
また，整式という名前は，「整数のような性質を持っている文字式」であることが由来だと思われます．このことは後々の学習で分かってくると思います．
高校数学ではあまり触れられませんが，多項式には指数部分の数2x^2の2の部分が0以上の整数であるという条件があります．x^{-2} のような項が含まれることを認めない，というわけです．そのため，多項式の次数3次の節で解説します．は0以上の整数となります．この条件に対して，負の冪乗4-2乗とかも認めるローラン多項式というものがあります．数学科に行けば，ローラン多項式と出会えるかもしれませんね．
次数
次に，次数について説明します．
単項式の次数は，掛けられている文字の数のことです．
-4x^2y^3 の場合だと，x が2個，y が3個掛けられているため，文字の数は合わせて5個，つまり次数は5になります．
多項式や整式の場合は，最も次数の高い項の次数が，その多項式（整式）の次数となります．
例として，4x^2 - 3xy + 2y^3 + 4y -5 を見てみましょう．それぞれの項の次数は，左の項から順に，2，2，3，1，0であり，最も大きいのは3なので，この多項式の次数は3となります．
特定の文字に着目する
2種類以上の文字がある式では，特定の文字にだけ着目して，それ以外の文字を数とみなすことがあります．
例）
4x^2 - 3xy + 2y^3 + 4y -5 は，次数 3，定数項 -5 の整式です．しかし，x に着目し，それ以外の文字を数とみなした場合は，次数2，定数項 2y^3 + 4y -5 の整式となります．
この考え方が有効な場面は度々ありますので，使いこなせるようによく練習しておくと良いでしょう．
変数・未知数・定数
この記事では「文字」という言葉を使用していますが，ひと口に文字と言いましても，その役割によってふさわしい名前があります．変数，未知数，定数という3つの言葉について知っていても損はしないでしょう．
説明するのが面倒なので，3つの言葉の違いに関しては，こちらのページやWikipediaの変数のページ冒頭を読むと良いかと思います．
