基本的な不定積分

本記事では，数学Ⅲで登場する基本的な不定積分を列挙します．

$x^n$ の不定積分

（1）
$\begin{aligned} \int x^{\alpha} dx = \frac{1}{\alpha + 1} x^{\alpha + 1} + C \\ \end{aligned}$
（ $C$ は積分定数）
（$\alpha \neq -1$，$\alpha$ は実数）

（2）
$\begin{aligned} \int \frac{1}{x} dx = \log{|x|} + C \\ \end{aligned}$
（ $C$ は積分定数）

証明．
省略します．
得られた関数を微分して，元の関数に戻ることを確認しましょう．

三角関数の不定積分

（1）
$\begin{aligned} \int \sin{x} \, dx = - \cos{x} + C \\ \end{aligned}$
（ $C$ は積分定数）

（2）
$\begin{aligned} \int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\\ \end{aligned}$
（ $C$ は積分定数）

（3）
$\begin{aligned} \int \frac{1}{\cos^2{x}} dx = \tan{x} + C\\ \end{aligned}$
（ $C$ は積分定数）

指数関数の不定積分

（1）
$\begin{aligned} \int e^x dx = e^x + C \\ \end{aligned}$
（ $C$ は積分定数）

（2）
$\begin{aligned} \int a^x dx = \frac{a^x}{\log{a}} + C \\ \end{aligned}$
（ $C$ は積分定数）

　　　　　

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