展開公式の覚え方
「あれ？ここはマイナスだっけ？プラスだっけ？」
「係数は-1だっけ？-2だっけ？」
このように，展開公式（乗法公式）を思い出すのに手こずった人もいるでしょう．
この記事は，公式を覚えるのに悪戦苦闘している人のために書きました．
3つの覚え方を紹介したいと思います．
そもそも展開公式とは？
モチベーションを上げるために，展開公式の利点について説明します．
展開公式（乗法公式）とは，特定の形の展開を楽にするための公式です．
展開とは，複数の整式の積を1つの整式にする操作であり，分配法則1A(B+C)=AB + AC \\ (A+B)C = AC + BCを用いて計算することができます．しかし，ある形式の整式の積は，特徴的な計算結果となります．それらをまとめたものが展開公式です．
覚え方1. 図で覚える
1つ目の方法は，図を使って視覚的なイメージで覚える方法です．
例えば，以下の図は，一辺(a+b)の正方形の面積が，a^2 + 2ab + b^2と表されることを示しています．この図を見れば(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2であることが感覚的に分かります．
参考過去記事：展開公式を図示する
全ての展開公式を図示できるわけではありませんが，基本的な公式は押さえることができます．
覚え方2. 一般的な公式だけ覚える
一般的な形の公式だけ覚えて，そこから他の公式を導き出すという方法があります．
数学Ⅱや数学Aの知識が必要になりますが，以下に示す二項定理
(a+b)^n = {}_n \mathrm{C}_0 a^nb^0 + {}_n \mathrm{C}_1 a^nb^1 + \cdots + {}_n \mathrm{C}_{n-1}a^1 b^{n-1} + {}_n \mathrm{C}_n a^0b^n
を覚えていれば，
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2 + b^3
(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
などを瞬時に導くことができます．
さらに，これらの公式の bに -b を代入することで，
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4
を求めることができます．
また，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2のbにb+cを代入すると，
\{a+(b+c)\}^2 = a^2 + 2a(b+c) + (b+c)^2=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2bc +2ca
を求められます．
他にも，以下の公式から，多くの公式を求めることができます．
(a-b)(a^{n-1}b^0 + a^{n-2}b^1 + \cdots + a^1b^{n-2} + a^0b^{n-1}) = a^n - b^n
n = 2 のとき
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
n = 3 のとき
(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
n = 4 のとき
(a-b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) = a^4 - b^4
さらに，nが奇数のときに，bに-bを代入してみましょう．
n = 3 のとき
(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3
別の展開公式を得ることができます．
覚え方3. 問題を解きまくる
最後は，問題を解きまくって覚える方法です．
自然と覚えるまで解き続ければOKというわけですね．
まとめ
以上，3つの覚え方を紹介しました．
使っているうちに自然と覚えるものなので，身構えず楽にいきましょう．
それと最後にひとつ．
「展開しなさい」という問題であれば，公式を思い出せなくても大丈夫です．分配法則2A(B+C)=AB + AC \\ (A+B)C = AC + BCを用いて，ゴリ押ししましょう．
展開公式は，特定の形式の展開を楽にするための公式なので，困ったら分配法則で苦労しながら解くのもアリなのです．
