展開公式(乗法公式)のひとつに(a+b)2=a2+2ab+b2があります.この公式を視覚的に分かりやすくしたものとして,以下のような図が有名です.
一辺(a+b)の正方形の面積がa2+2ab+b2と表せることが分かります.
このような図は,厳密な証明などには使えませんが,展開公式の理解の手助けになることは確かです.
この記事では,他の展開公式の図も描いてみたいと思います.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
(a+b)2=a2+2ab+b2と同じ要領で,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caを図示してみましょう.
なかなか分かりやすい図ですが,少しごちゃごちゃしてきました.
文字の種類を増やすのは止めにしましょう.
(a+b)(a−b)=a2−b2
次に,(a+b)(a−b)=a2−b2の図を描いてみます.
少し動きが出てきましたが,これも分かりやすいですね.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
次は3次の展開公式を図示してみます.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
なるほど,これを理解しやすいと感じるかは,立体を頭の中で動かして,裏側に隠れたb3を見る能力があるかによりそうです.3Dモデルを作って,くるくる回してみた方が万人受けするかもしれません.
(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
最後に,(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3の図を描いてみます.
動きの理解に少し時間がかかるかもしれません.
それと,だんだんと図が理解の助けにならなくなってきました.
これ以上複雑な公式を,分かりやすい図として描くのは難しいかもしれません.
遊びの提案(演習問題)
- (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=a3+b3+c3−3abcの図を描いてみましょう(できるだけ理解の手助けとなるようなものを).
- この記事に出てこなかった展開公式の図も描いてみましょう.
- 記事の冒頭に「(図は)厳密な証明には使えませんが」とあります.このような図が証明に使えない理由を考えてみましょう.
1番ができた人は教えてください.ぜひ,見たいです.
(追記)2022年3月24日
3次の展開公式のアニメーションを作りました!
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