展開公式を図示する

展開公式（乗法公式）のひとつに$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$があります．この公式を視覚的に分かりやすくしたものとして，以下のような図が有名です．

一辺$(a+b)$の正方形の面積が$a^2 + 2ab + b^2$と表せることが分かります．
このような図は，厳密な証明などには使えませんが，展開公式の理解の手助けになることは確かです．

この記事では，他の展開公式の図も描いてみたいと思います．

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$と同じ要領で，$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$を図示してみましょう．

なかなか分かりやすい図ですが，少しごちゃごちゃしてきました．
文字の種類を増やすのは止めにしましょう．

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

次に，$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$の図を描いてみます．

少し動きが出てきましたが，これも分かりやすいですね．

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

次は3次の展開公式を図示してみます．
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

なるほど，これを理解しやすいと感じるかは，立体を頭の中で動かして，裏側に隠れた$b^3$を見る能力があるかによりそうです．3Dモデルを作って，くるくる回してみた方が万人受けするかもしれません．

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

最後に，$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$の図を描いてみます．

動きの理解に少し時間がかかるかもしれません．
それと，だんだんと図が理解の助けにならなくなってきました．

これ以上複雑な公式を，分かりやすい図として描くのは難しいかもしれません．

遊びの提案（演習問題）

1. $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$の図を描いてみましょう（できるだけ理解の手助けとなるようなものを）．
2. この記事に出てこなかった展開公式の図も描いてみましょう．
3. 記事の冒頭に「（図は）厳密な証明には使えませんが」とあります．このような図が証明に使えない理由を考えてみましょう．

1番ができた人は教えてください．ぜひ，見たいです．

（追記）2022年3月24日

3次の展開公式のアニメーションを作りました！

3次の展開公式の図を動かしてみた

　

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