常用対数の近似値を愚直な方法で求めてみた
本記事では常用対数の\log_{10} 2の近似値を，原始的な方法で，ほぼ手計算で求めてみたいと思います．
きっかけ
このような行為1愚行に至ったきっかけは，2011年の広島大学の入試問題を知ったことでした．きっかけとなった大問を以下に引用します．
(1)
\begin{aligned} \log_2 3 = \frac{m}{n} \end{aligned} を満たす自然数m,nは存在しないことを証明せよ．(2)
p,qを異なる自然数とするとき，p \log_2 3 と q \log_2 3 の小数部分は等しくないことを証明せよ．(3)
2011年度 広島大学
\log_2 3の値の小数第1位を求めよ．
(1)(2)は背理法で簡単に証明できます．
(1)
\begin{aligned} \log_2 3 = \frac{m}{n} \end{aligned} を満たす自然数があると仮定すると，
\begin{aligned} 2^{\frac{m}{n}} = 3 \end{aligned}
両辺を n 乗して，
\begin{aligned} 2^{m} = 3^{n} \end{aligned}
左辺は偶数，右辺は奇数となり矛盾する．
よって，条件を満たすm,nは存在しない．
(2)
p \log_2 3 と q \log_2 3 の小数部分が等しいと仮定する．p > qと仮定しても一般性を失わない2通常p > qと仮定して証明した場合，p < qと仮定した場合の証明も必要となる．しかし今回の証明では p と q を入れ替えるだけで，証明過程を変えることなく p < q と仮定した場合の証明が可能であるため，p > q の証明のみを行う．ため，p > qとすると，p - q は自然数となる．
さらに， p \log_2 3 - q \log_2 3 = nとおくと
\begin{aligned} p \log_2 3 - q \log_2 3 &= n \\ (p - q) \log_2 3 &= n \\ \log_2 3 &= \frac{n}{p - q} \end{aligned}
p - q，n ともに自然数であるため，(1)で証明した命題に反する．
よって，p \log_2 3 と q \log_2 3 の小数部分は等しくない．
(3)は 2^3 < 3^2であること38 < 9と，3^5 < 2^8であること4243 < 256を利用すれば， 以下のように求めることができます．
2^3 < 3^2より，
\begin{aligned}
\log_2 2^3 &< \log_2 3^2 \\
3 \log_2 2 &< 2 \log_2 3 \\
3 &< 2 \log_2 3 \\
\frac{3}{2} &< \log_2 3 \\
1.5 &< \log_2 3 \\
\end{aligned}
3^5 < 2^8より，
\begin{aligned}
\log_2 3^5 &< \log_2 2^8 \\
5 \log_2 3 &< 8 \log_2 2 \\
5 \log_2 3 &< 8 \\
\log_2 3 &< \frac{8}{5} \\
\log_2 3 &< 1.6 \\
\end{aligned}
２つの不等式を合わせて，
1.5 < \log_2 3 < 1.6
となるので，
小数第1位の値は5である．
これを見て思ったのです．
同様の方法で，他の対数の近似値も求められるのではないかと．
ならばこの方法でもっと近似値を求めてみたい！
\log_{10} 2が無理数であることの証明
ここでは常用対数の\log_{10} 2の近似値を求めたいと思います．
せっかくなので近似値を求める前に，\log_{10} 2が無理数であることを確認しておきましょう．
\begin{aligned} \log_{10} 2 = \frac{m}{n} \end{aligned} を満たす自然数があると仮定すると，
\begin{aligned} 10^{\frac{m}{n}} = 2 \end{aligned}
両辺を n 乗して，
\begin{aligned} 10^{m} &= 2^{n} \\ \left( 2 \cdot 5 \right)^{m} &= 2^{n} \\ \end{aligned}
左辺の素因数 5 の個数は m 個，右辺は 0 個であり，素因数分解の一意性に反するため矛盾．
よって，条件を満たすm,nは存在しない．
\log_{10} 2が無理数であることが分かりました．
\log_{10} 2の近似値を求める
無理数であることが分かりましたので，好きなだけ近似値を求めてみましょう．
まずは，2^3 < 10^1 より，
\begin{aligned}
\log_{10} 2^3 &< \log_{10} 10 \\
3 \log_{10} 2 &< 1 \\
\log_{10} 2 &< \frac{1}{3} \\
\log_{10} 2 &< 0.3333 \cdots \\
\end{aligned}
続いて，10^3 < 2^{10} より51000 < 1024
腐っても情報系の学生なので，2^{10} = 1024 は覚えています．，
\begin{aligned}
\log_{10} 10^3 &< \log_{10} 2^{10} \\
3 &< 10 \log_{10} 2 \\
\frac{3}{10} &< \log_{10} 2 \\
0.3 &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
ここまでの結果，0.3 < \log_{10} 2 < 0.3333 \cdots となり，整数部分が0，小数第1位が 3 であることが分かりました．
続いて，下からの評価 0.3 < \log_{10} 2 の左辺をもう少し大きな数字にできないか試してみます．
とりあえず2^{n}の n を 1 ずつ増やしていき，桁上がりしたときの n を使って，不等式を作ってみましょう．
10^{2} < 2^{7} より
\begin{aligned}
\log_{10} 10^{2} &< \log_{10} 2^{7} \\
\frac{2}{7} &< \log_{10} 2 \\
0.285 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{4} < 2^{14} より
\begin{aligned}
\frac{4}{14} &< \log_{10} 2 \\
0.285 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{5} < 2^{17} より
\begin{aligned}
\frac{5}{17} &< \log_{10} 2 \\
0.294 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{6} < 2^{20} より
\begin{aligned}
\frac{6}{20} &< \log_{10} 2 \\
0.3 &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
これ以降10^{3k} < 2^{10k}(k は整数) の形のものは飛ばします．
0.3 < \log_{10} 2 になると分かりきっていますからね．
10^{7} < 2^{24} より
\begin{aligned}
\frac{7}{24} &< \log_{10} 2 \\
0.2916 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{8} < 2^{27} より
\begin{aligned}
\frac{8}{27} &< \log_{10} 2 \\
0.296 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{10} < 2^{34} より
\begin{aligned}
\frac{10}{34} &< \log_{10} 2 \\
0.294 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
そろそろきついので電卓を使います(手計算とは)．
10^{11} < 2^{37} より
\begin{aligned}
\frac{11}{37} &< \log_{10} 2 \\
0.297 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{13} < 2^{44} より
\begin{aligned}
\frac{13}{44} &< \log_{10} 2 \\
0.295 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{14} < 2^{47} より
\begin{aligned}
\frac{14}{47} &< \log_{10} 2 \\
0.297 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{16} < 2^{54} より
\begin{aligned}
\frac{16}{54} &< \log_{10} 2 \\
0.296 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{17} < 2^{57} より
\begin{aligned}
\frac{17}{57} &< \log_{10} 2 \\
0.298 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{19} < 2^{64} より
\begin{aligned}
\frac{19}{64} &< \log_{10} 2 \\
0.296875 &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{20} < 2^{67} より
\begin{aligned}
\frac{20}{67} &< \log_{10} 2 \\
0.298 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{22} < 2^{74} より
\begin{aligned}
\frac{22}{74} &< \log_{10} 2 \\
0.297 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{23} < 2^{77} より
\begin{aligned}
\frac{23}{77} &< \log_{10} 2 \\
0.298 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{25} < 2^{84} より
\begin{aligned}
\frac{25}{84} &< \log_{10} 2 \\
0.297 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{26} < 2^{87} より
\begin{aligned}
\frac{26}{87} &< \log_{10} 2 \\
0.298 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{28} < 2^{94} より
\begin{aligned}
\frac{28}{94} &< \log_{10} 2 \\
0.297 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{29} < 2^{97} より
\begin{aligned}
\frac{29}{97} &< \log_{10} 2 \\
0.298 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
10^{31} < 2^{103} より
\begin{aligned}
\frac{31}{103} &< \log_{10} 2 \\
0.3009 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
やりました！ようやく範囲を狭めることが出来ました！
続いて，\log_{10} 2 < 0.3333 \cdots のように上からおさえる値を小さくしていきましょう．
そのために，2^n < 10^m となる自然数 (n, m) の値を探してみましょう．
闇雲に探すのも手間ですので，10^3 と 2^{10} の値が近いことを利用して次のように探します．
手順1． \begin{aligned} n = 1 \end{aligned} とする．
手順2． \begin{aligned} \left (10^3 \right)^n < \left (2^{10} \right)^n \end{aligned} であり，10^3 と 2^{10} の値が近いことから， \begin{aligned} 2^{(10n-1)} < 10^{3n} \end{aligned} と予測し，その不等式が成り立つことを確認する．
手順3． \begin{aligned} 2^{(10n-1)} < 10^{3n} \end{aligned} を用いて，\log_{10} 2 を上からおさえる不等式を求める．
手順４．n の値を n+1 して，手順2に戻る．
\begin{aligned} 2^{(100-1)} < 10^{30} \end{aligned} までは以下の図の通り， 2^{(10n-1)} < 10^{3n} が成り立つことを確認済みです．
2^{9} < 10^{3} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2^9 &< \log_{10} 10^{3} \\
9 \log_{10} 2 &< 3 \log_{10} 10 \\
\log_{10} 2 &< \frac{3}{9} \\
\log_{10} 2 &< 0.3333 \cdots \\
\end{aligned}
2^{19} < 10^{6} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2 &< \frac{6}{19} \\
\log_{10} 2 &< 0.3157 \cdots \\
\end{aligned}
2^{29} < 10^{9} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2 &< \frac{9}{29} \\
\log_{10} 2 &< 0.3103 \cdots \\
\end{aligned}
2^{39} < 10^{12} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2 &< \frac{12}{39} \\
\log_{10} 2 &< 0.3076 \cdots \\
\end{aligned}
2^{49} < 10^{15} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2 &< \frac{15}{49} \\
\log_{10} 2 &< 0.3061 \cdots \\
\end{aligned}
2^{59} < 10^{18} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2 &< \frac{18}{59} \\
\log_{10} 2 &< 0.3050 \cdots \\
\end{aligned}
2^{69} < 10^{21} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2 &< \frac{21}{69} \\
\log_{10} 2 &< 0.3043 \cdots \\
\end{aligned}
2^{79} < 10^{24} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2 &< \frac{24}{79} \\
\log_{10} 2 &< 0.3037 \cdots \\
\end{aligned}
2^{89} < 10^{27} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2 &< \frac{27}{89} \\
\log_{10} 2 &< 0.3033 \cdots \\
\end{aligned}
2^{99} < 10^{30} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2 &< \frac{30}{99} \\
\log_{10} 2 &< 0.3030 \cdots \\
\end{aligned}
上からおさえる値はかなり良い値になりました．
それでは，最後に今回の結果をまとめると，
10^{31} < 2^{103} より
\begin{aligned}
\frac{31}{103} &< \log_{10} 2 \\
0.3009 \cdots &< \log_{10} 2 \\
\end{aligned}
2^{99} < 10^{30} より
\begin{aligned}
\log_{10} 2 &< \frac{30}{99} \\
\log_{10} 2 &< 0.3030 \cdots \\
\end{aligned}
よって \log_{10} 2 は，整数部分が 0，小数第1位は 3，小数第2位の値は 0 であることが分かりました．
まとめ
今回はひたすら愚直に\log_{10} 2 の近似値を求めてみました．
\log_{10} 3 もやる予定でしたが，力尽きてしまいました．
筆算で気が狂いそうになります．
今回の方法よりも賢い近似値計算法は山ほどありますので，真似するのはやめましょう！
特に正確な近似値が欲しいときはダメ，ゼッタイ！
以上，デジャヴを感じる終わり方でした．
↓デジャヴの元↓
