平方根の解説
無理数1英語でirrational number（直訳で「比で表せない数」）とは，分数で表せない数のことです2この定義には穴があるのですが，気になる方はこちら．無理数の例として円周率の\piや正の平方根の\sqrt{2}，\sqrt{3}などが挙げられます．
この記事では，平方根について解説したいと思います．
平方根とは
nの平方根とは，2乗するとnになる数のことです．例えば，4の平方根は2と-2，9の平方根は3と-3となります．実数の場合，n=0の場合を除いて，必ずmと-mが平方根になる，つまり，絶対値が等しい2つの実数が平方根となります．
正の平方根
\sqrt{n}は，正の平方根です．文脈によっては「正の」が省略されることがあります．また，記号√のことを根号といいます．
正の平方根の代表例である\sqrt{2}は，簡単に発見することができます．
2辺の長さが1の直角二等辺三角形について考えると，三平方の定理より，その斜辺が\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}であることが分かります．
ここからは余談になります．
先ほどの直角二等辺三角形の斜辺が分数で表せないことは，ギリシャでは紀元前から知られていました．
紀元前6世紀に，ピタゴラスは「世界のすべては数学で説明できる」との信念のもと，教団を作っていました．しかし，その数の体系は整数を中心としたものであり，整数の比で表される有理数は認められていましたが，そこには無理数がありませんでした．ピタゴラス学派の人々は，直角二等辺三角形の斜辺を分数で表せないことに気づき始め，そのことがピタゴラス学派の没落に繋がったという説があります．
一方で，三平方の定理は「ピタゴラスの定理」とも呼ばれます3海外ではこちらの呼び方が主流．自分の名前のついた定理が，自分の教団の行き詰まりと密接な関係にある，これはなかなか皮肉なものです．
余談終わり．
ちなみに，正の平方根の値や，値の求め方に興味のある方は，以下の記事を参考にしてみてください．
正の平方根の性質
平方根の性質を4つ示します．
(1)
\sqrt{a^2} = |a|
a \geqq 0 のとき \sqrt{a^2} = a
a < 0 のとき \sqrt{a^2} = -a
(2)
\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} (a > 0, b>0)
（証明）
両辺を２乗して（両辺が正より，両辺を２乗しても等号が成り立つ）
\begin{aligned}
(左辺)^2 &= (\sqrt{a}\sqrt{b})^2 \\
&= ab \\
&= \sqrt{ab} \\
&= (右辺)^2
\end{aligned}
(3)
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a > 0, b>0)
(証明)
(2)と同様に証明できます．
(4)
\sqrt{c^2a}=c \sqrt{a} (a > 0, c>0)
（証明）
(2)を使って証明できます．
分母の有理化
分数の分母に根号があるときに，分母から根号が無くなるように式を変形することを，分母の有理化，もしくは，単に有理化といいます．分母と分子に同じ数をかけても，元の数と変わらない性質を利用します．通分や約分と同じ要領です．
まずは分母に根号が1つだけの場合を見てみましょう．(\sqrt{a})^2 = a を使います．
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}次に，分母の根号が2つの場合を見てみましょう．今度は，(a+b)(a-b)=a^2 -b^2 を利用します．
\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} &= \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} \\
&= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} \\
&= \sqrt{3} - \sqrt{2}
\end{aligned}分母に根号が3つ以上ある場合は，2つや1つの時と同様の手順で有理化します．
\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{\{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}\} \{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}\}} \\
&= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} \\
&= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2\sqrt{6}} \\
&= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{2(\sqrt{6})^2} \\
&= \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30}}{12}
\end{aligned}２重根号の外し方
\sqrt{p + 2\sqrt{q}}のように，根号の中に根号がある状態を2重根号といいます．
ここでは2重根号の外し方を解説します．
まずは，何とかしてこの形\sqrt{p + 2\sqrt{q}}にしましょう．中にある2がポイントです．
2重根号が外れた状態を\sqrt{a} + \sqrt{b}とすると，
\sqrt{p + 2\sqrt{q}}=\sqrt{a} + \sqrt{b}となる，a，bを探せば良いことが分かります．
両辺が正より，両辺を2乗して，
p + 2\sqrt{q}=(a + b) + 2\sqrt{ab}
つまり，a + b = p，ab = qとなるa，bを探せば良いことが分かります．因数分解のたすき掛けと似ていますね．
試しに\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}の2重根号を外してみましょう．
\begin{aligned}
\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} &= \sqrt{2+3 + 2\sqrt{2\cdot 3}} \\
&= \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} \\
&= \sqrt{3} + \sqrt{2}
\end{aligned}
\sqrt{p - 2\sqrt{q}}の場合は，同様にして，
2重根号が外れた状態を\sqrt{a} - \sqrt{b} (a>b>0)とすると，
\sqrt{p - 2\sqrt{q}}=\sqrt{a} - \sqrt{b}となる，a，bを探します．
両辺が正より，両辺を2乗して，
p + 2\sqrt{q}=(a + b) - 2\sqrt{ab}
同様に，a + b = p，ab = qとなるa，bを探せば良いことが分かります．ただし，a>b>0となる点は要注意です．
最後に，2重根号の外し方は，先の単元の，ちょうど忘れそうな頃に必要となります4三角比の単元で\sin 15^{\circ}や\cos 15^{\circ}を求めるとき等で必要．．是非マスターしておきましょう．
