平面上の内分点・外分点・重心の座標
本記事では，主に次の3つの内容について解説します．
- 直線上の線分の内分点と外分点
- 平面上の線分の内分点と外分点
- 平面上の三角形の重心
結果だけでなく，なぜそのような結果になるのか，証明や説明を交えて解説しますので，納得できるまでじっくりと取り組みましょう．
直線上の内分点・外分点
数直線上の線分の内分点について考えます．
なお数直線上の2点\mathrm{A}，\mathrm{B}の距離は，点\mathrm{A}の値を a ，点\mathrm{B}の値を b とすると，|a-b|であることを前提とします．
数直線上の線分\mathrm{AB}を m:n に内分する点を\mathrm{P}とします．
点\mathrm{A}の値を a ，点\mathrm{B}の値を b，点 \mathrm{P} の値を p とします．\mathrm{P}は線分\mathrm{AB}を m:n に内分する点なので，
|a-p| : |p-b| = m:n
が成り立つことから，
m|p-b| = n|a-p|
となります．
ここで，a-p が正のとき，p - b が正となり，
a-p が負のとき，p - b が負となるので，
\begin{aligned}
m(p-b) &= n(a-p) \\
(m + n)p &= na + mb \\
p &= \frac{na + mb}{m + n}
\end{aligned}
よって\mathrm{AB}を m:n に内分する点\mathrm{P}の値は，
\begin{aligned}
p &= \frac{na + mb}{m + n}
\end{aligned}
となります．
外分点の場合も同様に考えることができます．
数直線上の線分\mathrm{AB}を m:n に外分する点を\mathrm{P}とし，それぞれの点の値を，点\mathrm{A}は a ，点\mathrm{B}は b，点 \mathrm{P} は p とします．
m:n に外分する点なので，
|a-p| : |p-b| = m:n
が成り立つことから，
m|p-b| = n|a-p|
となります．
ここで，a-p が正のとき，p - b が 負となり，
a-p が負のとき，p - b が正となるので，
\begin{aligned}
m(p-b) &= -n(a-p) \\
(m - n)p &= -na + mb \\
p &= \frac{-na + mb}{m - n}
\end{aligned}
よって\mathrm{AB}を m:n に外分する点\mathrm{P}の値は，
\begin{aligned}
p &= \frac{-na + mb}{m - n}
\end{aligned}
となります．
平面上の線分の内分点
次に平面上の線分の内分点について考えてみましょう．
xy座標上の線分\mathrm{AB}を m:n に内分する点を\mathrm{P}とし，それぞれ，点\mathrm{A}の座標を (x_1, y_1) ，点\mathrm{B}の座標を (x_2, y_2) とします．
このとき以下の命題が成り立ちます．
命題．
線分\mathrm{AB}を m:n に内分する点\mathrm{P}の座標は，
\begin{aligned}
\left( \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} \right)
\end{aligned}
x 座標は x_1とx_2の内分点に，y 座標は y_1とy_2の内分点となっています．
線分\mathrm{AB}の内分点の座標は，なぜこのような形になっているのでしょうか？それをこれから考えてみましょう．
まずは上の図のように，点\mathrm{P}の座標を (x_p, y_p) とします．
さらに \mathrm{C} = (x_2, y_1)，\mathrm{D} = (x_p, y_1)， \mathrm{E} = (x_2, y_p)とします．
ここまでくれば，各々の方法で納得できるかと思います．
例えば \bigtriangleup \mathrm{ADP}と \bigtriangleup \mathrm{PEB}が相似であり，その相似比が m:n であることは簡単に分かると思います．そこから，x 座標の内分点，y 座標の内分点が点\mathrm{P}の座標となることを導くことができます．
また\bigtriangleup \mathrm{ABC}に関して，\mathrm{BC}と平行な線分 \mathrm{PD}が引かれたと考えることでも同様の結果になります．
平面上の線分の外分点
次に平面上の線分の外分点について考えてみましょう．
xy座標上の線分\mathrm{AB}を m:n に外分する点を\mathrm{P}とし，それぞれ，点\mathrm{A}の座標を (x_1, y_1) ，点\mathrm{B}の座標を (x_2, y_2) とします．
このとき以下の命題が成り立ちます．
命題．
線分\mathrm{AB}を m:n に外分する点\mathrm{P}の座標は，
\begin{aligned}
\left( \frac{-n x_1 + m x_2}{m - n}, \frac{-n y_1 + m y_2}{m - n} \right)
\end{aligned}
この命題の証明は，演習問題としたいと思います．
演習．
線分\mathrm{AB}を m:n に外分する点\mathrm{P}の座標が，
\begin{aligned}
\left( \frac{-n x_1 + m x_2}{m - n}, \frac{-n y_1 + m y_2}{m - n} \right)
\end{aligned}
となることを示せ．
内分点のときと同じ考え方でも構いませんし，他の考え方でも構いません．
平面上の三角形の重心
最後にxy座標上の三角形の重心について解説します．
まずは三角形の重心をおさらいします．三角形の重心の特徴は以下の2点です．
- 三角形の3つの中線は1点(重心)で交わる．
- 重心は各中線を2:1に内分する．
より詳しくは以下のページを参照してください．
さて，xy座標上の三角形\bigtriangleup \mathrm{ABC}について，頂点\mathrm{A}の座標を (x_a, y_a) ，頂点\mathrm{B}の座標を (x_b, y_b) ，頂点\mathrm{C}の座標を (x_c, y_c) とします．
三角形の重心の座標について以下の命題が成り立ちます．
命題．
三角形\bigtriangleup \mathrm{ABC}の重心の座標は，
\begin{aligned}
\left( \frac{x_a + x_b + x_c}{3}, \frac{y_a + y_b + y_c}{3} \right)
\end{aligned}
証明．
三角形\bigtriangleup \mathrm{ABC}の重心\mathrm{G}の座標を (x_g, y_g)とする．
線分\mathrm{BC}の中点を\mathrm{M}とするとその座標は，
\begin{aligned}
\left( \frac{x_b + x_c}{2}, \frac{y_b + y_c}{2} \right)
\end{aligned}
また，重心\mathrm{G}は線分\mathrm{AM}を 2:1 に内分するので，
\begin{aligned}
x_g &= \frac{1 \cdot x_a + 2 \cdot \frac{x_b + x_c}{2}}{3} \\
&= \frac{x_a + x_b + x_c}{3}
\end{aligned}
同様に，
\begin{aligned}
y_g &= \frac{1 \cdot y_a + 2 \cdot \frac{y_b + y_c}{2}}{3} \\
&= \frac{y_a + y_b + y_c}{3}
\end{aligned}
よって，重心\mathrm{G}の座標は，
\begin{aligned}
\left( \frac{x_a + x_b + x_c}{3}, \frac{y_a + y_b + y_c}{3} \right)
\end{aligned}
