楕円の方程式を求める 〜十分条件の証明付き〜
本記事では，楕円の方程式について解説します．
多くの参考書では，楕円の方程式を求める過程で両辺を2乗するため，必要条件しか証明されていないことがあります．本記事では，大雑把にではありますが，十分条件にも触れたい1すごく誤魔化しているので後日修正するかもしれません．と思います．
楕円の方程式
実数 a, b が 0<b<a を満たす定数のとき，以下の方程式は，中心が原点，焦点 (- \sqrt{a^2 - b^2} , 0), \,(\sqrt{a^2 - b^2} , 0) の楕円を表す．
\begin{aligned}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1 \\
\end{aligned}
また，楕円上の点と焦点の距離の和は 2a になる．
楕円の方程式の導出
楕円の方程式を求める方針を簡単に説明します．
楕円上の点と焦点の距離の和は 2a になるので，焦点の座標を (- c , 0), \,(c , 0) とおき，2つの焦点との距離の和が 2a となる点の軌跡を求めます．
楕円上の点 \mathrm{P} の座標を (x,y) とすると，2つの焦点と点 \mathrm{P} との距離の和の間には以下の等式が成り立つ．
\begin{aligned}
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a \\
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \\
\end{aligned}
両辺を2乗して，
\begin{aligned}
(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2 \\
\end{aligned}
\begin{aligned}
4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} - 4cx &= 0 \\
a^2 - a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} - cx &= 0 \\
a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} &= a^2 - cx
\end{aligned}
両辺を2乗して，
\begin{aligned}
a^2 \{(x - c)^2 + y^2\} &= (a^2 - cx)^2 \\
a^2 x^2 - 2 a^2 c x + a^2 c^2 + a^2 y^2 &= a^4 -2 a^2 c x + c^2 x^2 \\
\end{aligned}
\begin{aligned}
(a^2 - c^2) x^2 + a^2 y^2 &= a^2 (a^2 - c^2) \\
\end{aligned}
両辺を a^2 (a^2 - c^2) で割ると，
\begin{aligned}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - c^2} &= 1 \\
\end{aligned}
b^2 = a^2 - c^2 とおいて，
\begin{aligned}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1 \\
\end{aligned}
よって，楕円の方程式は， \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1 \end{aligned} となります．
また焦点の x 座標 c の値は，b^2 = a^2 - c^2 とおいたことから，c = \sqrt{a^2 - b^2}であることが分かります．
十分条件の確認
X = Y \Rightarrow X^2 = Y^2 は常に成り立ちますが，X^2 = Y^2 \Rightarrow X = Y は必ずしも成り立つとは限りません．
X = Y \Leftrightarrow X^2 = Y^2 が成り立つためには，X と Y が同符号である必要があります．
前節で楕円の方程式を導出しましたが，両辺を2乗する操作が2回ありました．
十分条件が成り立つことを示すために，方程式の導出過程を逆から見て，2乗する前の両辺が同符号であることを確認する必要があります．
2乗した式
\begin{aligned}
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} &= \left\{ 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \right\}^2 \\
(x + c)^2 + y^2 &= 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2 \\
\end{aligned}
この式を2乗する前の式が両辺とも正であることを示します．
\begin{aligned}
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2}
\end{aligned}
左辺は焦点との距離であるため正，また a > 0 より，
\begin{aligned}
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a
\end{aligned}
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} が正で，\sqrt{(x + c)^2 + y^2} も正なので，
2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} も正である．
次に以下の等式が，両辺とも正であることも示します．
\begin{aligned}
a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} &= a^2 - cx
\end{aligned}
a > 0 より，左辺は正．
0 < c < a であることと，x \leqq a より，右辺も正である．
楕円の形を示す指標（離心率，扁平率）
最後に，楕円が円からどれだけ離れた形をしているかを測る指標を2つ紹介します．
1つ目は離心率です．
離心率は焦点が中心からどれだけ離れているかを示します．0に近づくほど円に近づきます．
離心率 e は以下の式で求められます．
楕円の離心率．
\begin{aligned}
e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}
\end{aligned}
もう1つ紹介する指標は，扁平率です．
扁平率は0に近づくほど，円に近づきます．地学を学習した方は，回転楕円体としての地球において，馴染みのある指標かと思います．
扁平率 e は以下の式で求められます．
楕円の扁平率．
\begin{aligned}
f = \frac{a - b}{a} = 1 - \frac{b}{a}
\end{aligned}
