点の平行移動とグラフの平行移動
平面上(xy直交座標)の点(x,y)をx軸方向へ1，y軸方向へ2平行移動させると，点(x+1,y+2)となります．一方，平面上の関数y=f(x)のグラフをx軸方向へ1，y軸方向へ2平行移動させると，関数y-2=f(x-1) となります．
点の平行移動の場合は移動した量を足していますが，関数の平行移動の場合は引いています．この違いは，なぜ生じるのでしょうか？
といったことを，冗談半分で聞いてみたのですが，本当に「なんで？」となった人は，この記事を読んで，しっかりと復習しましょう．
グラフ上の対応する点について考えます．元のグラフのある点を(x,y)，x軸方向へ1，y軸方向へ2平行移動させたグラフ上の対応する点を(x',y')とします．
すると，(x',y')と(x,y)の関係は以下の式で表されます．
x' = x + 1 \\ y' = y + 2
さて，y = f(x)を平行移動した関数に変換することが目的ですから，
x = x' - 1 \\ y = y' - 2
これをy = f(x)に代入した，y'-2 = f(x'-1)が求めたい関数となります．
このように，代数的に計算してしまえば納得できるかと思います．
どうしても他の解釈をつけたい場合は，視点の違いなどはいかがでしょうか．点の平行移動について考えているときは，元の点から移動後の点を見ている，関数の平行移動のときは，移動後の関数から元の関数を見ている，と少しモヤモヤしますがこんな感じです．
また，関数を2次関数に限定する場合，基本形について頂点の座標を考えることも有効です．
\begin{aligned}
y &= (x-p)^2 + q \\
y - q &= (x-p)^2
\end{aligned}頂点の座標をx軸方向へ1，y軸方向へ2平行移動させると，
\begin{aligned}
y - (q + 2) &= \{x-(p + 1)\}^2 \\
y - q - 2 &= (x - p - 1)^2 \\
(y-2) -q &= \{(x-1) -p\}^2
\end{aligned}となります．
