直線の方程式 〜ある点を通る直線，平行条件，垂直条件〜
1次関数y = mx + nが直線を表すことは周知のことだと思います．ただし，x軸と垂直で(x_1, 0)を通る直線はx = x_1です．
そこで一般化して，直線を方程式ax + by + c = 0として表すことも考えられます．こちらの形を一般形と呼ぶことにします．
本記事では，直線の方程式について，基本的な内容を解説します．
目次
傾きmで点(x_1, y_1)を通る直線
傾きがmで，点(x_1, y_1)を通る直線の方程式を求めます．
y=mx+nの形で考えてみましょう．
傾きがmなので，y=mx+\alphaの形になり，\alphaを求めれば良いことが分かります．
ここで，x = x_1，y = y_1を代入して，
\begin{aligned}
y_1 &= mx_1 + \alpha \\
\alpha &= y_1 - mx_1
\end{aligned}
これをy=mx+\alphaに代入して，
\begin{aligned}
y &= mx + y_1 - mx_1 \\
(y - y_1) &= m(x - x_1)
\end{aligned}
(y - y_1) = m(x - x_1)が求めたい直線となります．
ちなみに結論ありきの証明であれば，さらに簡潔なものが書けます．
証明．
y=mx+n \cdots(1)
この式にx = x_1，y = y_1を代入して，
y_1=mx_1+n \cdots(2)
(1) - (2)をして
(y - y_1) = m(x - x_1)
異なる2点，点(x_1, y_1)と点(x_2, y_2)を通る直線
2点(x_1, y_1)と(x_2, y_2)を通る直線を求めます．
基本的な考え方は，前述の傾きがmで点(x_1, y_1)を通る直線の求め方と同じです．
x_1 = x_2の場合．
x = x_1
x_1 \neq x_2の場合．
傾きは
\begin{aligned}
\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\end{aligned}
となるので，求める直線は，
\begin{aligned}
(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)
\end{aligned}
となります．
2直線が平行になる条件
2直線y = m_1 x + n_1とy = m_2 x + n_2が平行であるための条件は，
傾きが等しくなること，つまりm_1 = m_2 となることです1直感的にも明らかですが，x軸と2直線の成す角の\tanから証明することができます．．
一般形の場合を見てみましょう．
2直線a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 とa_2 x + b_2 y + c_2 = 0 が平行となる条件を考えます．
傾きが等しければ良いので，
\begin{aligned}
-\frac{a_1}{b_1} &= -\frac{a_2}{b_2} \\
a_1 b_2 &= a_2 b_1 \\
a_1 b_2 - a_2 b_1 &= 0
\end{aligned}
これが平行の条件となります．
2直線が垂直になる条件
2直線y = m_1 x + n_1とy = m_2 x + n_2が垂直に交わるための条件を考えます．
2直線を平行移動して，原点を通るy = m_1 xとy = m_2 xにします．
このとき，点Aを(1, m_1)，点Bを(1, m_2)とすると
\begin{aligned}
2直線が垂直 &\Leftrightarrow \angle \mathrm{AOB}=90^{\circ} \\
&\Leftrightarrow \mathrm{OA}^2 + \mathrm{OB}^2 = \mathrm{AB}^2 \\
&\Leftrightarrow (1^2 + m_{1}^2) + (1^2 + m_{2}^2) = (m_{1} - m_{2})^2 \\
&\Leftrightarrow m_{1}^2 + m_{2}^2 + 2 = m_{1}^2 -2 m_1 m_2 + m_{2}^2 \\
&\Leftrightarrow m_1 m_2 = -1 \\
\end{aligned}
となり，これが垂直条件となります．
一般形の場合も考えてみましょう．
2直線a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 とa_2 x + b_2 y + c_2 = 0 が垂直で交わる条件を考えます．
上での結果から，傾きの積が-1となれば良いので，
\begin{aligned}
\left( - \frac{a_1}{b_1} \right) \left( -\frac{a_2}{b_2} \right) &= -1 \\
a_1 a_2 &= -b_1 b_2 \\
a_1 a_2 + b_1 b_2 &= 0
\end{aligned}
ある直線に平行で点(x_1, y_1)を通る直線
ax + by + c = 0と平行で点(x_1, y_1)を通る直線を求めます．
y = mx + nの形に直して考えても良いのですが，ここでは一般形で考えてみましょう．
求めたい直線をa_1 x + b_1 y + c = 0とすると，平行条件より，
\begin{aligned}
& ax + by + c = 0 と a_1 x + b_1 y + c = 0 が平行 \\
&\Leftrightarrow a_1 b - b_1 a = 0 \\
&\Leftrightarrow a_1 b = b_1 a \\
&\Leftrightarrow a_1 : b_1 = a : b
\end{aligned}
よって，求める直線の方程式をax + by + c^{\prime} = 0の形で表すことができます．
ここでx = x_1，y = y_1を代入して，
\begin{aligned}
ax_1 + by_1 + c^{\prime} &= 0 \\
c^{\prime} &= -ax_1 -by_1
\end{aligned}
これをax + by + c^{\prime} = 0に代入して，
\begin{aligned}
ax + by -ax_1 -by_1 &= 0 \\
a(x - x_1) + b(y - y_1) &= 0
\end{aligned}
よって，求める方程式はa(x - x_1) + b(y - y_1) = 0となります．
ある直線に垂直で点(x_1, y_1)を通る直線
ax + by + c = 0と垂直で点(x_1, y_1)を通る直線を求めます．
前のy = mx + nの形に直して考えても良いのですが，ここでは一般形で考えてみましょう．
求めたい直線をa_1 x + b_1 y + c = 0とすると，垂直条件より，
\begin{aligned}
& ax + by + c = 0 と a_1 x + b_1 y + c = 0 が垂直 \\
&\Leftrightarrow a_1 a + b_1 b = 0 \\
&\Leftrightarrow - a_1 a = b_1 b \\
&\Leftrightarrow a_1 : b_1 = b : (-a)
\end{aligned}
よって，求める直線の方程式をbx - ay + c^{\prime} = 0の形で表すことができます．
ここでx = x_1，y = y_1を代入して，
\begin{aligned}
bx_1 - ay_1 + c^{\prime} &= 0 \\
c^{\prime} &= -bx_1 + ay_1
\end{aligned}
これをbx - ay + c^{\prime} = 0に代入して，
\begin{aligned}
bx - ay -bx_1 + ay_1 &= 0 \\
b(x - x_1) - a(y - y_1) &= 0
\end{aligned}
よって，求める方程式はb(x - x_1) - a(y - y_1) = 0となります．
練習問題
問題．
x -2y + 2 = 0と平行で点(2, 4)を通る直線を求めよ．
解答例1．
x -2y + 2 = 0を変形して，
\begin{aligned}
y = \frac{1}{2}x + 1
\end{aligned}
平行より傾きは\frac{1}{2}であり，点(2, 4)を通るので，
\begin{aligned}
(y - 4) &= \frac{1}{2}(x - 2) \\
y &= \frac{1}{2}x + 3
\end{aligned}
解答例2．
x -2y + 2 = 0と平行で点(2, 4)を通る直線の方程式は，
\begin{aligned}
1(x - 2) -2(y - 4) = 0 \\
x -2y + 6 = 0
\end{aligned}
