直線の方程式 〜点と直線の距離〜
この記事ではxy座標上の，点と直線の距離を求めます．
距離を計算する式を求める方法は，大きく分けて3通りあります．点からの垂線と直線の交点の座標を利用する方法，三角形を利用する方法，ベクトルを使う方法です．
この記事では，前者2つを紹介します．「ベクトル」は令和4年度開始の学習指導要領では，数学Cに位置付けられていますから，学習済みの方のための演習問題に留めたいと思います．
ちなみに，最も直感的に分かりやすい方法も，計算が簡単な方法も，ベクトルを用いる手法です．なぜベクトルを数学Cにしたのでしょう？1シュワルツの不等式といい，ベクトルを知らないと暗記に頼りがちになると思うのですが，文科省は文系学生に数学の暗記科目化を勧めているのでしょうか？
命題
点と直線の距離．
点(x_1, y_1)と直線ax + by + c = 0の距離は，
\begin{aligned}
\frac{|ax_1 + by_1+ c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\end{aligned}
証明1．
点(x_1, y_1)からax + by + c = 0へ垂線を降ろし，その交点を(x_2, y_2)
(x_2, y_2)は，直線ax + by + c = 0と垂線b(x - x_1) -a(y - y_1) = 0の上にあるので，
a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) + ax_1 + by_1 + c = 0
b(x_2 - x_1) -a(y_2 - y_1) = 0
この2つの式を同時に満たす．
ここでX = x_2 - x_1，Y = y_2 - y_1とおく2x_2 - x_1，y_2 - y_1の方が何をしているのかが分かりやすいですが，表示の都合上このようにおいています．．
aX + bY + ax_1 + by_1 + c = 0
bX -aY = 0
これを解いて，
\begin{aligned}
X &= \frac{-b(ax_1 + by_1+ c)}{a^2 + b^2} \\
Y &= \frac{a(ax_1 + by_1+ c)}{a^2 + b^2}
\end{aligned}
\begin{aligned}
X^2 = \frac{b^2(ax_1 + by_1+ c)^2}{(a^2 + b^2)^2} \\
Y^2 = \frac{a^2(ax_1 + by_1+ c)^2}{(a^2 + b^2)^2}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\sqrt{X^2 + Y^2} &= \sqrt{ \frac{(a^2 + b^2)(ax_1 + by_1+ c)^2}{(a^2 + b^2)^2}} \\
&= \frac{\sqrt{(ax_1 + by_1+ c)^2}}{\sqrt{(a^2 + b^2)}} \\
&= \frac{|ax_1 + by_1+ c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\end{aligned}
証明2．
点(x_1, y_1)を点\mathrm{P}とする．
点Pから直線ax + by + c = 0に向かって，x軸，y軸に平行な2本の直線を伸ばす．点Pを通るy軸に平行な直線と，直線ax + by + c = 0の交点を\mathrm{A} = (x_a, y_a)とする．点Pを通るx軸に平行な直線と，直線ax + by + c = 0の交点を\mathrm{B} = (x_b, y_b)とする．
また，求めたい距離をhとする．
ここで\bigtriangleup \mathrm{PAB}の面積Sを求める．
\angle \mathrm{APB} = 90^{\circ}なので，
\begin{aligned}
S &= \frac{1}{2} \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} \\
&= \frac{1}{2} |y_1 - y_a| |x_1 - x_b|
\end{aligned}
一方でS = \frac{1}{2} h \mathrm{AB}なので，
\begin{aligned}
S &= \frac{1}{2} h \mathrm{AB} \\
&= \frac{1}{2} h \sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}
\end{aligned}
2つの式を合わせて，
\begin{aligned}
h &= \frac{|y_1 - y_a| |x_1 - x_b|}{\sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}}
\end{aligned}
x_a = x_1，y_b = y_1なので，
\begin{aligned}
h &= \frac{|y_1 - y_a| |x_1 - x_b|}{\sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}} \\
&= \frac{|y_1 - y_a| |x_1 - x_b|}{\sqrt{(x_1 - x_b)^2 + (y_a - y_1)^2}} \\
&= \frac{|x_1 - x_b| |y_1 - y_a|}{\sqrt{(x_1 - x_b)^2 + (y_1 - y_a)^2}} \\
&= \frac{|b| |x_1 - x_b| |y_1 - y_a|}{|b| \sqrt{(x_1 - x_b)^2 + (y_1 - y_a)^2}} \\
&= \frac{|x_1 - x_b| |by_1 - by_a|}{\sqrt{b^2(x_1 - x_b)^2 + (by_1 - by_a)^2}} \\
\end{aligned}
点\mathrm{A} = (x_1, y_a)と点\mathrm{B} = (x_b, y_1)は直線ax + by + c = 0上にあるので，
\begin{aligned}
& ax_1 + by_a + c = 0 \\
&\Leftrightarrow by_a = -ax_1 - c \cdots (1)
\end{aligned}
\begin{aligned}
& ax_b + by_1 + c = 0 \\
&\Leftrightarrow by_1 = -ax_b - c \cdots (2)
\end{aligned}
(2) - (1)より
by_1 - by_a = ax_1 - ax_b
また，ax_b = -by_1 - cより，
by_1 - by_a = ax_1 + by_1 + c
これらを代入して，
\begin{aligned}
h &= \frac{|x_1 - x_b| |by_1 - by_a|}{\sqrt{b^2(x_1 - x_b)^2 + (by_1 - by_a)^2}} \\
&= \frac{|x_1 - x_b| |ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{b^2(x_1 - x_b)^2 + (ax_1 - ax_b)^2}} \\
&= \frac{|x_1 - x_b| |ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{(a^2 + b^2)(x_1 - x_b)^2}} \\
&= \frac{|x_1 - x_b| |ax_1 + by_1 + c|}{ |x_1 - x_b| \sqrt{a^2 + b^2}} \\
&= \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\
\end{aligned}
演習問題
演習．
点と直線の距離をベクトルを用いて求めましょう．
