2倍角の公式，3倍角の公式，半角の公式

本記事では，2倍角の公式，3倍角の公式，半角の公式の証明をしたいと思います．

三角関数の公式の多くは，加法定理から導かれるので，加法定理がよくわからない方は，こちらの記事をご覧ください．

三角関数の加法定理とその証明

2倍角の公式

2倍角の公式．
$\begin{aligned} \sin{2 \theta} &= 2 \sin{\theta} \cos{\theta} \\ \cos{2 \theta} &= \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} \\ &= 2 \cos^2{\theta} -1 \\ &= 1 - 2\sin^2{\theta} \\ \tan{2 \theta} &= \frac{2 \tan{\theta}}{1 - \tan^2{\theta}} \end{aligned}$

正弦の2倍角の公式の証明．
三角関数の正弦の加法定理 $\sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}$ において，$\alpha = \beta = \theta$ とすると，
$\begin{aligned} \sin{2 \theta} &= \sin{(\theta + \theta)} \\ &= \sin{\theta}\cos{\theta} + \cos{\theta} \sin{\theta} \\ &= 2 \sin{\theta}\cos{\theta} \end{aligned}$

余弦の2倍角の公式の証明．
三角関数の余弦の加法定理 $\cos{(\alpha + \beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha} \sin{\beta}$ において，$\alpha = \beta = \theta$ とすると，
$\begin{aligned} \cos{2 \theta} &= \cos{(\theta + \theta)} \\ &= \cos{\theta}\cos{\theta} - \sin{\theta} \sin{\theta} \\ &= \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} \end{aligned}$

この式に $\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta}$ を代入すると，
$\begin{aligned} \cos{2 \theta} &= \cos^2{\theta} - (1 - \cos^2{\theta}) \\ &= 2 \cos^2{\theta} -1 \\ \end{aligned}$

また $\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta}$ を代入すると，
$\begin{aligned} \cos{2 \theta} &= 1 - \sin^2{\theta} - \sin^2{\theta} \\ &= 1 - 2 \sin^2{\theta} \\ \end{aligned}$

正接の2倍角の公式の証明．
三角関数の正接の加法定理 $\tan{(\alpha + \beta)} = \frac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha} \tan{\beta}}$ において，$\alpha = \beta = \theta$ とすると，
$\begin{aligned} \tan{2 \theta} &= \tan{(\theta + \theta)} \\ &= \frac{\tan{\theta} + \tan{\theta}}{1 - \tan{\theta} \tan{\theta}} \\ &= \frac{2 \tan{\theta}}{1 - \tan^2{\theta}} \\ \end{aligned}$

3倍角の公式

3倍角の公式．
$\begin{aligned} \sin{3 \theta} &= 3 \sin{\theta} - 4 \sin^3{\theta} \\ \cos{3 \theta} &= 4 \cos^3{\theta} - 3 \cos{\theta} \\ \end{aligned}$

正弦の3倍角の公式の証明．
三角関数の正弦の加法定理 $\sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}$ において，$\alpha = 2 \theta$，$\beta = \theta$ とすると，
$\begin{aligned} \sin{3 \theta} &= \sin{(2 \theta + \theta)} \\ &= \sin{2 \theta}\cos{\theta} + \cos{2 \theta} \sin{\theta} \\ \end{aligned}$
2倍角の公式を使って，
$\begin{aligned} \sin{3 \theta} &= \sin{2 \theta}\cos{\theta} + \cos{2 \theta} \sin{\theta} \\ &= (2 \sin{\theta} \cos{\theta}) \cos{\theta} + (1 - 2 \sin^2{\theta}) \sin{\theta} \\ &= 2 \sin{\theta} \cos^2{\theta} + \sin{\theta} - 2 \sin^3{\theta} \\ &= 2 \sin{\theta} (1 - \sin^2{\theta}) + \sin{\theta} - 2 \sin^3{\theta} \\ &= 2 \sin{\theta} - 2 \sin^3{\theta} + \sin{\theta} - 2 \sin^3{\theta} \\ &= 3 \sin{\theta} - 4 \sin^3{\theta} \\ \end{aligned}$

余弦の3倍角の公式の証明．
三角関数の正弦の加法定理 $\cos{(\alpha + \beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha} \sin{\beta}$ において，$\alpha = 2 \theta$，$\beta = \theta$ とすると，
$\begin{aligned} \cos{3 \theta} &= \cos{(2 \theta + \theta)} \\ &= \cos{2 \theta}\cos{\theta} - \sin{2 \theta} \sin{\theta} \\ \end{aligned}$
2倍角の公式を使って，
$\begin{aligned} \cos{3 \theta} &= \cos{2 \theta}\cos{\theta} - \sin{2 \theta} \sin{\theta} \\ &= (2 \cos^2{\theta} - 1)\cos{\theta} - (2 \sin{\theta} \cos{\theta}) \sin{\theta} \\ &= 2 \cos^3{\theta} - \cos{\theta} - 2 \sin^2{\theta} \cos{\theta} \\ &= 2 \cos^3{\theta} - \cos{\theta} - 2 (1 - \cos^2{\theta}) \cos{\theta} \\ &= 2 \cos^3{\theta} - \cos{\theta} - 2 \cos{\theta} + 2 \cos^3{\theta} \\ &= 4 \cos^3{\theta} - 3 \cos{\theta} \\ \end{aligned}$

半角の公式

半角の公式．
$\begin{aligned} \sin^2{\frac{\theta}{2}} &= \frac{1 - \cos{\theta}}{2} \\ \cos^2{\frac{\theta}{2}} &= \frac{1 + \cos{\theta}}{2} \\ \tan^2{\frac{\theta}{2}} &= \frac{1 - \cos{\theta}}{1 + \cos{\theta}} \\ \end{aligned}$

半角の公式(正弦)の証明．
余弦の2倍角の公式 $\cos{2 \theta} = 1 - 2 \sin^2{\theta}$ の $\theta$ を $\frac{\theta}{2}$ に置き換えて，
$\begin{aligned} \cos{\left( 2 \cdot \frac{\theta}{2} \right) } &= 1 - 2 \sin^2{\frac{\theta}{2} } \\ 2 \sin^2{\frac{\theta}{2} } &= 1 - \cos{\theta} \\ \sin^2{\frac{\theta}{2}} &= \frac{1 - \cos{\theta}}{2} \\ \end{aligned}$

半角の公式(余弦)の証明．
余弦の2倍角の公式 $\cos{2 \theta} = 2 \cos^2{\theta} - 1$ の $\theta$ を $\frac{\theta}{2}$ に置き換えて，
$\begin{aligned} \cos{\left( 2 \cdot \frac{\theta}{2} \right) } &= 2 \cos^2{\frac{\theta}{2} } - 1 \\ - 2 \cos^2{\frac{\theta}{2} } &= - 1 - \cos{\theta} \\ \cos^2{\frac{\theta}{2} } &= \frac{1 + \cos{\theta}}{2} \end{aligned}$

半角の公式(正接)の証明．
$\begin{aligned} \tan^2{\frac{\theta}{2}} &= \frac{\sin^2{\frac{\theta}{2}}}{\cos^2{\frac{\theta}{2}}}\\ &= \frac{\frac{1 - \cos{\theta}}{2}}{\frac{1 + \cos{\theta}}{2}}\\ &= \frac{1 - \cos{\theta}}{1 + \cos{\theta}} \end{aligned}$

　　

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