2点間の距離 〜ユークリッド距離，マンハッタン距離，距離の公理〜
2点間の距離について解説します．
※注意
中盤以降は高校の学習指導要領外の内容です．
平面上の2点間の距離（高校で習う距離）
xy平面上の2点の距離は以下のように定義されます．
定義．
xy平面上の2点(x_1 , y_1) ，(x_2 , y_2) の距離は，
\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}
イメージとしては，直線距離でしょうか．2点間の線分の長さというイメージでもいいと思います．
空間上の2点間の距離
xyz空間上の2点の距離は以下のように定義されます．
定義．
xyz空間上の2点(x_1 , y_1, z_1) ，(x_2 , y_2, z_2) の距離は，
\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 }
距離ってこれしかないの？
※これ以降は高校の学習指導要領外の内容です．
さて数学における距離とは，高校で習うこの距離だけでしょうか？
現実世界には，直線距離以外の距離もあります．
タクシーに乗ったときに「ここから東京タワーまでの距離はどれくらいですか？」と訊いて，直線距離を答えられたら，あなたは怒るでしょう．この場合は，道沿いの距離が返ってくることを要求しているはずです．
それでは，数学における他の距離のうち，有名なものをひとつ紹介したいと思います．
マンハッタン距離
高校で習う先述の距離のことを，ユークリッド距離といいます．
他の有名な距離として，マンハッタン距離があります．マンハッタン距離の定義は以下の通りです．
マンハッタン距離の定義．
平面の場合：
|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|
空間の場合：
|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| + |z_1 - z_2|
上の図においては，青い部分の長さの合計がマンハッタン距離となります．
マンハッタン距離のイメージは，座標軸に平行に進んだ最短の道のりです．
ちなみに名前の由来は，マンハッタンの道が碁盤目状になっており，マンハッタンを道沿いに進むことが，座標軸に対して平行に進むことに似ていることから来ています1京都の方が綺麗な碁盤目状なので，京都距離と呼んでも良いのでは？．
距離の公理
ちなみに距離の公理を満たしているものは，なんでも距離となります．
距離の公理．
集合Xの任意の要素 a，b，c に関して，2変数関数 d が以下の条件を満たすとき，d のことを距離，または距離関数といいます．
d(a, b) = 0 \Leftrightarrow a = b
d(a, b) = d(b, a)
d(a, b) + d(b, c) \geqq d(a,c)
さて，ここで重要なことは，集合の要素が座標上の点である必要がないということです．
次回の記事では，文字列や木構造といった離散構造の距離について解説します．
もちろん，高校の学習指導要領の内容ではありません．
（2023年3月20日追記）
文字列（配列）の距離の解説記事が出来ました！
