√nが無理数であることの証明

$\sqrt{n}$（$n$は平方数でない正の整数）が無理数であることはご存知かと思います．無理数であることの証明方法は色々ありますが，この記事では3通りの証明方法を紹介したいと思います．

証明方法1

1つ目の証明方法は，最も有名な背理法を直接使う方法です．

背理法について簡単に説明しますと，命題Aが成り立つ(真である)ことを証明するために，命題Aが成り立たない(偽である)と仮定し，その仮定だと矛盾が生じることを示すことで，命題Aが成り立つ(真である)ことを証明する手法です．

この方法での証明を想定した問題では，$\sqrt{2}$や$\sqrt{3}$が無理数であることを証明することが多いので，ここでは$\sqrt{5}$が無理数であることを証明したいと思います．原理は$\sqrt{2}$や$\sqrt{3}$の証明と同様です．

証明．
$\sqrt{5}$が有理数であると仮定すると¹実数の定義も碌にできていないのに，「無理数でない」＝「有理数である」と言ってしまうのは，なかなか暴力的ではありますが，高校数学ですから気にしてはいけません．，
$\sqrt{5} = \frac{m}{n}　(m,nは互いに素である正の整数)$
と表される．
両辺は正なので，両辺を2乗しても等号は成り立つ．
両辺を2乗して，
$5 = \frac{m^2}{n^2}$
$m^2 = 5n^2$
2乗して5の倍数となるのは，５の倍数だけなので²$(5k)^2 = 25k^2 = 5 \cdot 5k^2$
$(5k+1)^2 = 25k^2 +10k + 1= 5(5k^2 + 2k) + 1$
$(5k+2)^2 = 25k^2 +20k + 4= 5(5k^2 + 4k) + 4$
$(5k+3)^2 = 25k^2 +30k + 9= 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$
$(5k+4)^2 = 25k^2 +40k + 16= 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$，
$m=5k$と表せる正の整数$k$が存在する．
$m=5k$を$m^2 = 5n^2$に代入して，
$(5k)^2 = 5n^2$
$25k^2 = 5n^2$
$n^2 = 5k^2$
$n$も5の倍数となり，$m,n$ともに５の倍数であることが，互いに素であることと矛盾する．
よって$\sqrt{5}$は無理数である．

ちなみに，$m,n$は互いに素という条件を付けない場合でも，正の整数には最小値1が存在することを利用して矛盾させる方法，無限降下法³Wikipediaに良い例があるので，知らない方はこちらを参照して下さい．によって証明を行うことができます．

証明方法2

2次方程式を利用して証明します．まずは，以下の証明をします．
問題文は赤チャートの例題を引用させていただきます⁴自分で問題文を考えるのメンドークサイ．．

整数$a,b$を係数とする2次方程式$x^2+ax+b=0$が有理数の解$r$をもつならば，$r$は整数であることを証明せよ．

チャート研究所『改訂版チャート式数学Ⅰ+A』赤チャート 平成29年 第６刷 例題62(1)

証明．
$r= \frac{m}{n}　(m,nは互いに素，a \neq 0)$とする．
$r$が整数であることを示すためには，$n=\pm{1}$となることを示せばよい．
$x$に$\frac{m}{n}$を代入して，
$\frac{m^2}{n^2} + a \frac{m}{n} + b = 0$
$m^2 + amn + bn^2 = 0$
$m^2 = -n( am + bn)$

ここで$n \neq \pm{1}$と仮定すると，
$n$がなんらかの素数$p$の倍数であることになる．
つまり，$n = pk　(kは0以外の整数)$と表すことができる．
$m^2 = -n( am + bn)$に代入して，
$m^2 = -pk( am + bpk)$
よって，mもpの倍数となるため⁵中学数学の内容を覚えていないのですが，「整数$n$の2乗が素数$p$の倍数になるなら，$n$も$p$の倍数である」ことは証明済みでしょうか？証明済みでないなら，証明してみましょう．，$m, n$が互いに素であることに矛盾する．
よって$n = \pm{1}$であり，$r$は整数である．

さて，こうして証明した内容を使って$\sqrt{n}　(nは平方数でない正の整数)$が無理数であることを証明します．
例として，$\sqrt{5}$が無理数であることを証明します．

証明．
前述の方程式に関して$a=0, b=-5$のとき，つまり，$x^2 -5=0$について考える．
解のひとつが$\sqrt{5}$だが，$2 < \sqrt{5} < 3$より，$\sqrt{5}$は整数ではないため，$\sqrt{5}$は無理数である．

同様に，任意の$\sqrt{n}　(nは平方数でない正の整数)$に関して，$x^2 -n=0$の解のひとつが$\sqrt{n}$であることと，$m < \sqrt{n} < m+1$となる整数$m$を示すことで，$\sqrt{n}$は無理数であることが証明される．

証明方法3

素因数分解の一意性を利用して証明することもできます．

証明．
$\sqrt{5}$が有理数であると仮定すると，
$\sqrt{5} = \frac{m}{n}$
と表される．
両辺は正なので，両辺を2乗しても等号は成り立つ．
両辺を2乗して，
$5 = \frac{m^2}{n^2}$
$m^2 = 5n^2$
ここで，$m$の素因数分解を$m=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{i}$，$n$の素因数分解を$n = q_{1} \cdot q_{2} \cdot \cdots \cdot q_{i}$とすると，
$m^2 = p_{1}^{2} \cdot p_{2}^{2} \cdot \cdots \cdot p_{i}^{2}$
$5n^2 = 5 \cdot q_{1}^{2} \cdot q_{2}^{2} \cdot \cdots \cdot q_{i}^{2}$となり，
左辺の素因数5の数は偶数個，右辺の素因数5の数は奇数個となるため素因数分解の一意性に反する．
よって，$\sqrt{5}$は無理数である．

　

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