√nが無理数であることの証明
\sqrt{n}（nは平方数でない正の整数）が無理数であることはご存知かと思います．無理数であることの証明方法は色々ありますが，この記事では3通りの証明方法を紹介したいと思います．
証明方法1
1つ目の証明方法は，最も有名な背理法を直接使う方法です．
背理法について簡単に説明しますと，命題Aが成り立つ(真である)ことを証明するために，命題Aが成り立たない(偽である)と仮定し，その仮定だと矛盾が生じることを示すことで，命題Aが成り立つ(真である)ことを証明する手法です．
この方法での証明を想定した問題では，\sqrt{2}や\sqrt{3}が無理数であることを証明することが多いので，ここでは\sqrt{5}が無理数であることを証明したいと思います．原理は\sqrt{2}や\sqrt{3}の証明と同様です．
証明．
\sqrt{5}が有理数であると仮定すると1実数の定義も碌にできていないのに，「無理数でない」＝「有理数である」と言ってしまうのは，なかなか暴力的ではありますが，高校数学ですから気にしてはいけません．，
\sqrt{5} = \frac{m}{n} (m,nは互いに素である正の整数)
と表される．
両辺は正なので，両辺を2乗しても等号は成り立つ．
両辺を2乗して，
5 = \frac{m^2}{n^2}
m^2 = 5n^2
2乗して5の倍数となるのは，５の倍数だけなので2(5k)^2 = 25k^2 = 5 \cdot 5k^2
(5k+1)^2 = 25k^2 +10k + 1= 5(5k^2 + 2k) + 1
(5k+2)^2 = 25k^2 +20k + 4= 5(5k^2 + 4k) + 4
(5k+3)^2 = 25k^2 +30k + 9= 5(5k^2 + 6k + 1) + 4
(5k+4)^2 = 25k^2 +40k + 16= 5(5k^2 + 8k + 3) + 1 ，
m=5kと表せる正の整数kが存在する．
m=5kをm^2 = 5n^2 に代入して，
(5k)^2 = 5n^2
25k^2 = 5n^2
n^2 = 5k^2
nも5の倍数となり，m,nともに５の倍数であることが，互いに素であることと矛盾する．
よって\sqrt{5}は無理数である．
ちなみに，m,nは互いに素という条件を付けない場合でも，正の整数には最小値1が存在することを利用して矛盾させる方法，無限降下法3Wikipediaに良い例があるので，知らない方はこちらを参照して下さい．によって証明を行うことができます．
証明方法2
2次方程式を利用して証明します．まずは，以下の証明をします．
問題文は赤チャートの例題を引用させていただきます4自分で問題文を考えるのメンドークサイ．．
整数a,bを係数とする2次方程式x^2+ax+b=0が有理数の解rをもつならば，rは整数であることを証明せよ．
チャート研究所『改訂版チャート式数学Ⅰ+A』赤チャート 平成29年 第６刷 例題62(1)
証明．
r= \frac{m}{n} (m,nは互いに素，a \neq 0)とする．
rが整数であることを示すためには，n=\pm{1}となることを示せばよい．
xに \frac{m}{n}を代入して，
\frac{m^2}{n^2} + a \frac{m}{n} + b = 0
m^2 + amn + bn^2 = 0
m^2 = -n( am + bn)
ここで n \neq \pm{1}と仮定すると，
nがなんらかの素数pの倍数であることになる．
つまり，n = pk (kは0以外の整数)と表すことができる．
m^2 = -n( am + bn)に代入して，
m^2 = -pk( am + bpk)
よって，mもpの倍数となるため5中学数学の内容を覚えていないのですが，「整数nの2乗が素数pの倍数になるなら，nもpの倍数である」ことは証明済みでしょうか？証明済みでないなら，証明してみましょう．， m, nが互いに素であることに矛盾する．
よって n = \pm{1}であり，rは整数である．
さて，こうして証明した内容を使って\sqrt{n} (nは平方数でない正の整数)が無理数であることを証明します．
例として，\sqrt{5}が無理数であることを証明します．
証明．
前述の方程式に関してa=0, b=-5のとき，つまり，x^2 -5=0について考える．
解のひとつが\sqrt{5}だが，2 < \sqrt{5} < 3より，\sqrt{5}は整数ではないため，\sqrt{5}は無理数である．
同様に，任意の\sqrt{n} (nは平方数でない正の整数)に関して，x^2 -n=0の解のひとつが\sqrt{n}であることと，m < \sqrt{n} < m+1となる整数mを示すことで，\sqrt{n}は無理数であることが証明される．
証明方法3
素因数分解の一意性を利用して証明することもできます．
証明．
\sqrt{5}が有理数であると仮定すると，
\sqrt{5} = \frac{m}{n}
と表される．
両辺は正なので，両辺を2乗しても等号は成り立つ．
両辺を2乗して，
5 = \frac{m^2}{n^2}
m^2 = 5n^2
ここで，mの素因数分解をm=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{i}，nの素因数分解をn = q_{1} \cdot q_{2} \cdot \cdots \cdot q_{i}とすると，
m^2 = p_{1}^{2} \cdot p_{2}^{2} \cdot \cdots \cdot p_{i}^{2}
5n^2 = 5 \cdot q_{1}^{2} \cdot q_{2}^{2} \cdot \cdots \cdot q_{i}^{2}となり，
左辺の素因数5の数は偶数個，右辺の素因数5の数は奇数個となるため素因数分解の一意性に反する．
よって，\sqrt{5}は無理数である．
