一度は証明したい三角比の公式（三角形の面積，四角形の面積）

この記事では，三角形や四角形の面積を求める公式の証明を行います．
証明をしたことがない公式を見つけたら，記事を読み終わった後で良いので，自分で証明してみましょう．

また本記事では，三角形$\bigtriangleup ABC$に関して，$\angle A$を$A$，$\angle B$を$B$，$\angle C$を$C$と記述します．辺については$\angle A$の対辺を$a$，$\angle B$の対辺を$b$，$\angle C$の対辺を$c$と記述とします．

三角形の面積の公式

三角形の面積を求める公式$(底辺) \times (高さ) \div 2$を三角比を使って少し変形します．

三角形$\bigtriangleup ABC$の面積$S$について，以下の式が成り立つ．
$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} bc \sin{A} \end{aligned}$

$\bigtriangleup ABC$の頂点$C$から辺$AB$への垂線と直線$AB$との交点を$D$とする．$CD$の長さは，
$\begin{aligned} \sin A &= \frac{CD}{b} より\\ CD &= b \sin A \end{aligned}$
よって$\bigtriangleup ABC$の面積$S$は，
$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \sin A \\ &= \frac{1}{2}bc \sin{A} \end{aligned}$

同様の方法で，

$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} ca \sin{B} \end{aligned}$
$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} ab \sin{C} \end{aligned}$

を求めることができます．

三角形の面積と外接円の関係

三角形$\bigtriangleup ABC$の面積$S$と外接円の半径$R$に関して，以下の等式が成り立ちます．

$\begin{aligned} S &= \frac{abc}{4R} \end{aligned}$

三角形$\bigtriangleup ABC$の外接円の半径を$R$とする．
正弦定理$\frac{a}{\sin A} = 2R$より，
$\sin A = \frac{a}{2R}$
$\bigtriangleup ABC$の面積$S$は，
$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}bc \sin{A} \\ &= \frac{abc}{4R} \end{aligned}$

三角形の面積と内接円の関係

三角形$\bigtriangleup ABC$の面積$S$と内接円の半径$r$に関して，以下の等式が成り立ちます．

$S = \frac{1}{2} r \left( a + b + c \right)$

証明．
$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r \\ &= \frac{1}{2}r \left( a + b + c \right) \end{aligned}$

ヘロンの公式

三角形の各辺の長さから，面積を求める公式にヘロンの公式と呼ばれるものがあります．

ヘロンの公式
三角形$\bigtriangleup ABC$の面積$S$，$s = \frac{a +b + c}{2}$とすると，
$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

証明．
$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}bc \sin{A} \\ &= \frac{1}{2}bc \sqrt{1 - \cos^2 A} \\ &= \frac{1}{2}bc \sqrt{\left(1 + \cos A \right) \left(1 - \cos A \right) } \end{aligned}$

ここで余弦定理より，
$\begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 -2bc \cos A \\ 2bc \cos{A} &= b^2 + c^2 - a^2 \\ 2bc + 2bc \cos A &= 2bc + b^2 + c^2 - a^2 \\ 2bc \left( 1 + \cos A \right) &= (b+c)^2 - a^2 \\ 1 + \cos A &= \frac{\left( b + c + a \right) \left( b + c - a \right) }{2bc} \end{aligned}$
ここで，$s = \frac{a +b + c}{2}$とおくと，
$\begin{aligned} 1 + \cos A &= \frac{\left( b + c + a \right) \left( b + c - a \right) }{2bc} \\ &= \frac{2s \left( 2s - 2a \right) }{2bc} \\ &= 2 \frac{s \left( s - a \right) }{bc} \\ \end{aligned}$

同様に，余弦定理より
$\begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 -2bc \cos A \\ -2bc \cos{A} &= a^2 - b^2 - c^2 \\ 2bc - 2bc \cos A &= 2bc + a^2 - b^2 - c^2 \\ 2bc \left( 1 - \cos A \right) &= a^2 - (b-c)^2 \\ 1 - \cos A &= \frac{\left( a + b - c \right) \left( a - b + c \right) }{2bc} \end{aligned}$
ここで，$s = \frac{a +b + c}{2}$とおくと，
$\begin{aligned} 1 - \cos A &= \frac{\left( a - b + c \right) \left( a + b - c \right) }{2bc} \\ &= \frac{\left( 2s - 2b \right) \left( 2s - 2c \right) }{2bc} \\ &= 2 \frac{\left( s - b \right) \left( s - c \right) }{bc} \\ \end{aligned}$

面積の式に戻って，
$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}bc \sqrt{\left(1 + \cos A \right) \left(1 - \cos A \right) } \\ &= \frac{1}{2} bc \sqrt{ \left\{ 2 \frac{s \left( s - a \right) }{bc} \right\} \left\{ 2 \frac{\left( s - b \right) \left( s - c \right) }{bc} \right\} } \\ &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned}$

平行四辺形の面積の公式

平行四辺形の面積$S$は，合同な三角形が2つあると考えて，2辺と間の角から，

$\begin{aligned} S &= ab \sin{\theta} \end{aligned}$

円に内接する四角形の面積（ブラーマグプタの公式）

円に内接する四角形の面積$S$を各辺の長さから求める公式があります．
以下に示す公式をブラーマグプタの公式といいます．

ブラーマグプタの公式
円に内接する四角形$ABCD$の辺$AB$の長さを$a$，辺$BC$の長さを$b$，辺$CD$の長さを$c$，辺$DA$の長さを$d$，面積を$S$，$s = \frac{a +b + c + d}{2}$とすると，
$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

証明．
$\begin{aligned} S &= (三角形 \bigtriangleup ABC の面積)+(三角形 \bigtriangleup ACD の面積) \\ &= \frac{1}{2}ab \sin{B} + \frac{1}{2}cd \sin{D} \\ &= \frac{1}{2}ab \sin{B} + \frac{1}{2}cd \sin{(180^{\circ}-B)} \\ &= \frac{1}{2}ab \sin{B} + \frac{1}{2}cd \sin{B} \\ &= \frac{1}{2} (ab + cd) \sin{B} \\ &= \frac{1}{2} (ab + cd) \sqrt{1 - cos^2B} \\ &= \frac{1}{2} (ab + cd) \sqrt{(1 + cos{B})(1 - cos{B})} \\ \end{aligned}$

ここで余弦定理より，
$\begin{aligned} AC^2 &= a^2 + b^2 -2ab \cos{B} \end{aligned}$
また，
$\begin{aligned} AC^2 &= c^2 + d^2 -2cd \cos{D} \\ &= c^2 + d^2 -2cd \cos{(180^{\circ} - B)} \\ &= c^2 + d^2 + 2cd \cos{B} \\ \end{aligned}$
上の2つの式から，
$\begin{aligned} a^2 + b^2 -2ab \cos{B} &= c^2 + d^2 + 2cd \cos{B} \\ 2(ab+cd) \cos{B} &= a^2 + b^2 - c^2 - d^2 \\ \cos{B} &= \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \end{aligned}$

$\begin{aligned} 1 + \cos{B} &= 1 + \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \\ &= \frac{2ab + 2cd + a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \\ &= \frac{(a + b)^2 - (c - d)^2}{2(ab+cd)} \\ &= \frac{(a + b + c - d)(a + b - c + d)}{2(ab+cd)} \\ \end{aligned}$
ここで，$s = \frac{a +b + c + d}{2}$とおいて，
$\begin{aligned} 1 + \cos{B} &= \frac{(a + b + c - d)(a + b - c + d)}{2(ab+cd)} \\ &= \frac{(2s -2d)(2s-2c)}{2(ab+cd)} \\ &= 2 \frac{(s-c)(s-d)}{ab+cd} \end{aligned}$

$\begin{aligned} 1 - \cos{B} &= 1 - \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \\ &= \frac{2ab + 2cd - a^2 - b^2 + c^2 + d^2}{2(ab+cd)} \\ &= \frac{(c + d)^2 - (a - b)^2}{2(ab+cd)} \\ &= \frac{(c + d + a - b)(c + d - a + b)}{2(ab+cd)} \\ \end{aligned}$
ここで，$s = \frac{a +b + c + d}{2}$とおいて，
$\begin{aligned} 1 - \cos{B} &= \frac{(c + d + a - b)(c + d - a + b)}{2(ab+cd)} \\ &= \frac{(2s -2b)(2s-2a)}{2(ab+cd)} \\ &= 2 \frac{(s-a)(s-b)}{ab+cd} \end{aligned}$

面積の式に戻って，
$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} (ab + cd) \sqrt{(1 + cos{B})(1 - cos{B})} \\ &= \frac{1}{2} (ab + cd) \sqrt{ \left\{ 2 \frac{(s-c)(s-d)}{ab+cd} \cdot 2 \frac{(s-a)(s-b)}{ab+cd} \right\} } \\ &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{aligned}$

　

「勝手気ままに高校数学」シリーズ一覧へ