チェバの定理・メネラウスの定理

本記事では，チェバの定理とメネラウスの定理の証明をします．

チェバの定理

チェバの定理．
三角形\bigtriangleup \mathrm{ABC}の内部に点\mathrm{T}をとる．直線\mathrm{AT}と辺\mathrm{BC}の交点を\mathrm{P}，直線\mathrm{BT}と辺\mathrm{CA}の交点を\mathrm{Q}，直線\mathrm{CT}と辺\mathrm{AB}の交点を\mathrm{R}とすると，以下の等式が成り立つ．
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1

証明．
\bigtriangleup \mathrm{ABT}の面積をS_1，\bigtriangleup \mathrm{BCT}の面積をS_2，\bigtriangleup \mathrm{CAT}の面積をS_3とする．
\bigtriangleup \mathrm{ABT}の面積S_1と\bigtriangleup \mathrm{CAT}の面積S_3の面積比について考えると，底辺を共通する辺である\mathrm{AT}とすると，高さはそれぞれ頂点\mathrm{B}から\mathrm{AT}への垂線と高さは頂点\mathrm{C}から\mathrm{AT}への垂線となる．それぞれの垂線の足を\mathrm{D}，\mathrm{E}とすると，
\bigtriangleup \mathrm{BDP}\text{∽}\bigtriangleup \mathrm{CEP}より，
\mathrm{BD}:\mathrm{CE} = \mathrm{BP}:\mathrm{PC}
したがって，
\frac{S_1}{S_3} = \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}
となる．
同様の方法で，
\frac{S_3}{S_2} = \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}
\frac{S_2}{S_1} = \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}
が求められる．
したがって，
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = \frac{S_1}{S_3} \cdot \frac{S_3}{S_2} \cdot \frac{S_2}{S_1} = 1

チェバの定理の逆

チェバの定理の逆を証明したいと思います¹「逆」といいながら，厳密には，完全に逆の命題ではありません．．

チェバの定理の逆．
三角形\bigtriangleup \mathrm{ABC}において，辺\mathrm{BC}上に点\mathrm{P}があり，辺\mathrm{CA}上に点\mathrm{Q}があり，辺\mathrm{AB}上に点\mathrm{R}があるとする．以下の等式
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1
が成り立つならば，直線\mathrm{AP}，\mathrm{BQ}，\mathrm{CR}は一点で交わる．

証明．
2直線\mathrm{AP}，\mathrm{BQ}の交点を\mathrm{T}とする．直線\mathrm{CT}と\mathrm{AB}の交点を\mathrm{R^{\prime}}とすると，チェバの定理より，
\frac{\mathrm{AR^{\prime}}}{\mathrm{R^{\prime}B}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1
が成り立つ．
条件の等式\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1より，
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}= \frac{\mathrm{AR^{\prime}}}{\mathrm{R^{\prime}B}}
\mathrm{R} = \mathrm{R^{\prime}}となるため，3直線は1点で交わる．

演習．
チェバの定理の逆を用いて，三角形の3本の中線が1点で交わることを証明せよ．

三角形の3本の中線の交点とは重心のことです．詳しくはこちらのページをご覧ください．

三角形の五心　〜性質と証明〜

メネラウスの定理

メネラウスの定理．
三角形\bigtriangleup \mathrm{ABC}に対して直線を一本引く．直線と辺\mathrm{BC}，辺\mathrm{CA}，辺\mathrm{AB}，もしくはその延長との交点を，点\mathrm{P}，\mathrm{Q}，\mathrm{R}とすると，以下の等式が成り立つ．
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1

証明．
以下の図のように，点\mathrm{A}を通り，\mathrm{RP}と平行な直線を引く．その直線と，\mathrm{BP}の延長の交点を\mathrm{D}とすると，
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} = \frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{PB}}
\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = \frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PD}}
となるので，
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = \frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PD}} = 1

メネラウスの定理の逆

メネラウスの定理の逆．
\bigtriangleup \mathrm{ABC}の辺\mathrm{BC}の延長線上に点\mathrm{P}，辺\mathrm{CA}上に点\mathrm{Q}，辺\mathrm{AB}上に点\mathrm{R}があるとき，以下の等式，
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1
が成り立つならば，点\mathrm{P}，\mathrm{Q}，\mathrm{R}は同一直線上にある．

証明．
点\mathrm{P}，\mathrm{Q}を通る直線と辺点\mathrm{AB}との交点を点\mathrm{R^{\prime}}とすると，
\frac{\mathrm{AR^{\prime}}}{\mathrm{R^{\prime}B}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1
が成り立つ．
また，条件より，
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1
が成り立つため，
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}= \frac{\mathrm{AR^{\prime}}}{\mathrm{R^{\prime}B}}
\mathrm{R} = \mathrm{R^{\prime}}となり，3点\mathrm{P}，\mathrm{Q}，\mathrm{R}は同一直線上の点となる．

　

「勝手気ままに高校数学」シリーズ一覧へ