円に内接する四角形の性質
定理．
円に内接する四角形\mathrm{ABCD}について，四角形の対角の和は180^{\circ}である．
証明．
弧\mathrm{CBA}の円周角を\alphaとすると，中心角は2 \alphaとなる．同様に，弧\mathrm{CDA}の円周角を\betaとすると，中心角は2 \betaとなる．
\begin{aligned}
2\alpha + 2 \beta &= 360^{\circ} \\
\alpha + \beta &= 180^{\circ}
\end{aligned}
\alpha = \angle \mathrm{D}，\beta = \angle \mathrm{B}なので，
\begin{aligned}
\angle \mathrm{D} + \angle \mathrm{B} &= 180^{\circ}
\end{aligned}
よって，円に内接する四角形の対角の和は180^{\circ}である．
定理．
四角形\mathrm{ABCD}が円に内接するための条件は，1組の対角の和が180^{\circ}となることである．
証明．
\angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{D} = 180^{\circ}とする．
\bigtriangleup \mathrm{ABC}の外接円を弧\mathrm{CBA}以外の円周上に点\mathrm{D^{\prime}}をとる．すると，
\angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{D^{\prime}} = 180^{\circ}
\angle \mathrm{D^{\prime}} = \angle \mathrm{D}
となるため，円周角の定理の逆より，
点\mathrm{D} は\bigtriangleup \mathrm{ABC}の外接円上に存在する．
よって，1組の対角の和が180^{\circ}であれば，四角形\mathrm{ABCD}が円に内接する．
定理．
円に内接する四角形の1つの内角は，向かい合う角の外角に等しい．
証明．
\angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{D} = 180^{\circ}
\mathrm{D}の外角は，180^{\circ} - \angle \mathrm{D} = \angle \mathrm{B}
