ド・モアブルの定理
本記事では，ド・モアブルの定理を解説します．
複素数平面上の乗算の動きを知っていると当たり前のように感じるかもしれませんが，重要な定理ですのでしっかりと押さえましょう．
複素数平面上の乗算については以前の記事でまとめています．
ド・モアブルの定理について
ド・モアブルの定理は以下のような定理です．
ド・モアブルの定理．
n が整数のとき以下の等式が成り立つ．
(\cos{\theta} + i \, \sin{\theta})^n = \cos{n \theta} + i \, \sin{n \theta}
複素数の乗算を行うと，複素数平面上では極形式の角だけ回転するので，成り立つのは当たり前に思えます．逆に除算の場合，極形式の角だけ逆回転するので，やはり成り立つのは当たり前に思います．
一見当たり前に思われる定理ですが，しっかりと証明してみましょう．
ド・モアブルの定理の証明
数学的帰納法を使って n が自然数の時の証明をします．
証明．
n=1 のとき，
(左辺) = (\cos{\theta} + i \, \sin{\theta})^1 = \cos{\theta} + i \, \sin{\theta}
(右辺) = \cos{1 \theta} + i \, \sin{1 \theta} = \cos{\theta} + i \, \sin{\theta}
n=k のとき成り立つと仮定すると，
n=k+1 のとき，
\begin{aligned}
(左辺) &= (\cos{\theta} + i \, \sin{\theta})^{k+1} \\
&= (\cos{\theta} + i \, \sin{\theta})^k(\cos{\theta} + i \, \sin{\theta}) \\
&= (\cos{k \theta} + i \, \sin{k \theta})(\cos{\theta} + i \, \sin{\theta}) \\
&= \cos{(k+1) \theta} + i \, \sin{(k+1) \theta} \\
&= (左辺)
\end{aligned}
よって全ての自然数に対して成り立つ．
0や負の整数の場合も同様に証明できるので，やってみましょう．
ド・モアブルの定理の活用例
ド・モアブルの定理ですが，「z^n = 1 となる zを求めよ」といった形式の問題で活躍します．
z^n = \cos{n \theta} + i \, \sin{n \theta} = 1となる \theta を探します．
上記の式を満たす \theta は，
\begin{aligned} n \theta = 2k \pi (kは整数) \end{aligned}
つまり，\begin{aligned} \theta = \frac{2k \pi}{n} (kは整数) \end{aligned}
であり，
\theta がそれらの値のとき，z^n = \cos{n \theta} + i \, \sin{n \theta} = 1となります．
問題．
z^6 = 1 となる zを求めよ.
解答例．
解をz = r(\cos{n \theta} + i \, \sin{n \theta}) = 1 を満たす複素数と考えると，
r = 1，\begin{aligned} \theta = \frac{2k \pi}{6} = \frac{k \pi}{3} (kは整数) \end{aligned} となればよい．
つまり，\begin{aligned}z = \cos{\frac{k \pi}{3}}+ i \, \sin{\frac{k \pi}{3}} (kは整数) \end{aligned} である．
0 \leqq \theta <2 \pi の範囲で考えると，
k=0 のとき，
\begin{aligned}z &= \cos{0}+ i \, \sin{0} \\ &= 1 \end{aligned}
k=1 のとき，
\begin{aligned}z &= \cos{\frac{1 \pi}{3}}+ i \, \sin{\frac{1 \pi}{3}} \\ &= \frac{1 +\sqrt{3} i}{2} \end{aligned}
k=2 のとき，
\begin{aligned}z &= \cos{\frac{2 \pi}{3}}+ i \, \sin{\frac{2 \pi}{3}} \\ &= \frac{1 -\sqrt{3} i}{2} \end{aligned}
k=3 のとき，
\begin{aligned}z &= \cos{\pi}+ i \, \sin{\pi} \\ &= -1 \end{aligned}
k=4 のとき，
\begin{aligned}z &= \cos{\frac{4 \pi}{3}}+ i \, \sin{\frac{4 \pi}{3}} \\ &= \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2} \end{aligned}
k=5 のとき，
\begin{aligned}z &= \cos{\frac{5 \pi}{3}}+ i \, \sin{\frac{5 \pi}{3}} \\ &= \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} \end{aligned}
演習問題
演習問題．
z^8 = 1 となる zを求めよ.
