数列の総和の公式

本記事では，数列の総和の公式を証明します．

よく教科書や参考書で見られる証明方法だけでなく，数学的帰納法による証明もしてみました．

$\sum_{k=1}^n k$

公式．
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n (n + 1) \\ \end{aligned}$

証明．
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + \cdots + n \\ \end{aligned}$ は交差 $1$ ，初項 $1$ ，末項 $n$ ，項数 $n$ の等差数列なので，
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k &= 1 + 2 + \cdots + n \\ &= \frac{1}{2} n (n + 1) \\ \end{aligned}$

　　　

$\sum_{k=1}^n k^2$

公式．
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1) \\ \end{aligned}$

証明1．
$\begin{aligned} (k + 1)^3 &= k^3 + 3 k^2 + 3 k + 1 \\ (k + 1)^3 - k^3 &= 3 k^2 + 3 k + 1 \end{aligned}$
となることから，
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \{(k + 1)^3 - k^3 \} &= \sum_{k=1}^n ( 3 k^2 + 3 k + 1) \\ \end{aligned}$
が成り立つ．

$\begin{aligned} (左辺) &= \sum_{k=1}^n \{(k + 1)^3 - k^3 \} \\ &= \sum_{k=1}^n (k + 1)^3 - \sum_{k=1}^n k^3 \\ &= (n + 1)^3 - 1^3 \\ &= n^3 + 3 n^2 + 3 n \end{aligned}$
$\begin{aligned} (右辺) &= \sum_{k=1}^n ( 3 k^2 + 3 k + 1) \\ &= 3 \sum_{k=1}^n k^2 + 3 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 \\ &= 3 \sum_{k=1}^n k^2 + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n+1) + n \\ &= 3 \sum_{k=1}^n k^2 + \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n \end{aligned}$

したがって，
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \{(k + 1)^3 - k^3 \} &= \sum_{k=1}^n ( 3 k^2 + 3 k + 1) \\ n^3 + 3 n^2 + 3 n &= 3 \sum_{k=1}^n k^2 + \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n \\ \end{aligned}$
となる．
$\begin{aligned} 3 \sum_{k=1}^n k^2 &= n^3 + 3 n^2 + 3 n - \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n \\ &= n^3 + \frac{3}{2}n^2 n^2 + \frac{1}{2} n \\ &= \frac{n}{2} \left( 2 n^2 + 3 n + 1 \right) \\ &= \frac{n}{2} (n + 1)(2n + 1 ) \end{aligned}$
よって，
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1) \\ \end{aligned}$

数学的帰納法を使って証明してみます．

証明2．
$n = 1$ のとき，
$\begin{aligned} (左辺) &= \sum_{k=1}^1 k^2 \\ &= 1 \\ (右辺) &= \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (1 + 1) (2 \cdot 1 + 1) \\ &= \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \\ &= 1 \end{aligned}$
等式は成り立つ．

$n = m$ のときに成り立つと仮定すると，
$n = m+1$ のとき，
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{m+1} k^2 &= \left( \sum_{k=1}^m k^2 \right) + (m + 1)^2 \\ &= \frac{1}{6} m (m + 1) (2m + 1) + (m + 1)^2 \\ &= \frac{1}{6} (m + 1) \{ m(2m + 1) + 6 (m + 1) \} \\ &= \frac{1}{6} (m + 1) ( 2m^2 + 7m + 6) \\ &= \frac{1}{6} (m + 1) ( m + 2 ) ( 2m + 3) \\ &= \frac{1}{6} (m + 1) \{ (m+1) + 1 \} \{ 2(m + 1) + 1 \} \\ \end{aligned}$
等式は成り立つ．

よって，全ての自然数 $n$ で等式は成り立つ．

$\sum_{k=1}^n k^3$

公式．
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n + 1) \right\}^2 \\ \end{aligned}$

証明1．
$\begin{aligned} (k + 1)^4 &= k^4 + 4 k^3 + 6 k^2 + 4 k + 1 \\ (k + 1)^4 - k^4 &= 4 k^3 + 6 k^2 + 4 k + 1 \end{aligned}$
となることから，
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \{(k + 1)^4 - k^4 \} &= \sum_{k=1}^n ( 4 k^3 + 6 k^2 + 4 k + 1 ) \\ \end{aligned}$
が成り立つ．

$\begin{aligned} (左辺) &= \sum_{k=1}^n \{(k + 1)^4 - k^4 \} \\ &= \sum_{k=1}^n (k + 1)^4 - \sum_{k=1}^n k^4 \\ &= (n + 1)^4 - 1^4 \\ &= n^4 + 4 n^3 + 6 n^2 + 4 n \end{aligned}$
$\begin{aligned} (右辺) &= \sum_{k=1}^n ( 4 k^3 + 6 k^2 + 4 k + 1 ) \\ &= 4 \sum_{k=1}^n k^3 + 6 \sum_{k=1}^n k^2 + 4 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 \\ &= 4 \sum_{k=1}^n k^3 + 6 \cdot \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1) + 4 \cdot \frac{1}{2} n (n + 1) + n \\ &= 4 \sum_{k=1}^n k^3 + 2 n^3 + 5 n^2 +4n \end{aligned}$

したがって，
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \{(k + 1)^4 - k^4 \} &= \sum_{k=1}^n ( 4 k^3 + 6 k^2 + 4 k + 1 ) \\ n^4 + 4 n^3 + 6 n^2 + 4 n &= 4 \sum_{k=1}^n k^3 + 2 n^3 + 5 n^2 +4n \\ \end{aligned}$
となる．
$\begin{aligned} 4 \sum_{k=1}^n k^3 &= n^4 + 4 n^3 + 6 n^2 + 4 n - 2 n^3 - 5 n^2 - 4n \\ &= n^4 + 2 n^3 + n^2 \\ &= n^2 \left( n + 1 \right)^2 \\ &= \left\{ (n (n + 1) \right\}^2 \\ \end{aligned}$
よって，
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n + 1) \right\}^2 \\ \end{aligned}$

数学的帰納法を使った証明もしておきます．

証明2．
$n = 1$ のとき，
$\begin{aligned} (左辺) &= \sum_{k=1}^1 k^3 \\ &= 1 \\ (右辺) &= \left\{ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1 + 1) \right\}^2 \\ &= 1^2 \\ &= 1 \end{aligned}$
等式は成り立つ．

$n = m$ のときに成り立つと仮定すると，
$n = m+1$ のとき，
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{m+1} k^3 &= \left( \sum_{k=1}^m k^3 \right) + (m + 1)^3 \\ &= \left( \frac{1}{2} m^2 + \frac{1}{2} m \right)^2 + (m + 1)^3 \\ &= \frac{1}{4} m^2 (m + 1)^2 + (m + 1)^3 \\ &= (m + 1)^2 \left\{ \frac{1}{4} m^2 + (m + 1) \right\} \\ &= (m + 1)^2 \left(\frac{1}{2} m + 1 \right)^2 \\ &= \left\{ (m + 1) \left(\frac{1}{2} m + 1 \right) \right\}^2 \\ &= \left( \frac{1}{2} m^2 + \frac{3}{2} m + 1 \right)^2 \\ &= \left\{ \frac{1}{2} \left( m^2 + 3 m + 2 \right) \right\}^2 \\ &= \left\{ \frac{1}{2} (m + 1) (m + 2) \right\}^2 \\ &= \left\{ \frac{1}{2} (m + 1) \{(m + 1) + 1 \} \right\}^2 \\ \end{aligned}$
等式は成り立つ．

よって，全ての自然数 $n$ で等式は成り立つ．

　　　　

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