方べきの定理の練習問題
本記事には，方べきの定理を使って解ける基本的な問題と解答例があります．
方べきの定理をしっかりと使いこなせるようになりましょう．
方べきの定理が分からない人は以下の記事をご参照ください．
問題1
以下の図の x の値を求めよ．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
問題2
ある円に2本の弧 \mathrm{AB} と弧 \mathrm{CD} がある．この2本の弧が円の内側の点 \mathrm{E} で交わり，\mathrm{AB} = 18 ，\mathrm{AE} = 6 ，\mathrm{CE} = 8 であるとき，線分 \mathrm{DE} の長さを求めよ．
問題1の解答例
方べきの定理について簡単に復習しておきます．
方べきの定理．
2本の弧 \mathrm{AB} と弧 \mathrm{CD} の交点を \mathrm{P} とするとき，以下の式が成り立つ．
\mathrm{AP} \cdot \mathrm{BP} = \mathrm{CP} \cdot \mathrm{DP}
また，上の図のように円の接線と弧 \mathrm{AB} の交点を \mathrm{P}，接点を\mathrm{T} とするとき以下の式が成り立つ．
\mathrm{AP} \cdot \mathrm{BP} = \mathrm{PT}^2
それでは，解答例に移りたいと思います．
（1）
解答例．
方べきの定理より
\begin{aligned}
2 \cdot x &= 1 \cdot 4 \\
2x &= 4 \\
x &= 2
\end{aligned}
（2）
解答例．
方べきの定理より
\begin{aligned}
12 \cdot x &= 6 \cdot 8 \\
12 x &= 48 \\
x &= 4
\end{aligned}
（3）
解答例．
方べきの定理より
\begin{aligned}
3 ( x + 3) &= 3 (3 + 4) \\
3 x + 9 &= 21 \\
3 x &= 12 \\
x &= 4
\end{aligned}
（4）
解答例．
方べきの定理より
\begin{aligned}
x ( x + 13) &= 4 ( 4 + 8 ) \\
x^2 +13x &= 48 \\
x^2 +13 x - 48 &= 0 \\
( x - 3 )( x + 16 ) &= 0
\end{aligned}
x > 0 より
x = 3
（5）
解答例．
方べきの定理より
\begin{aligned}
x^2 &= 9 (9 + 7) \\
x^2 &= 3^2 \cdot 4^2 \\
\end{aligned}
x > 0 より
x = 12
問題2の解答例
方べきの定理が使える図形の問題を，文章に変換しただけの問題です．
解答例．
\begin{aligned}
\mathrm{BE} &= \mathrm{AB} - \mathrm{AE} \\
&= 18 - 6 \\
&= 12
\end{aligned}
方べきの定理より
\begin{aligned}
\mathrm{CE} \cdot \mathrm{DE} &= \mathrm{AE} \cdot \mathrm{BE} \\
8 \cdot \mathrm{DE} &= 6 \cdot 12 \\
8 \mathrm{DE} &= 72 \\
\mathrm{DE} &= 9 \\
\end{aligned}
