展開と因数分解の演習
展開
次の式を展開せよ．
(1)
(2x -3y +z)^2
(2)
(a^3 + a^2 +3a +3) (a^3 -a^2 +3a -3)
(3)
(pq + p^2 + q^3) (3q -2p^2q + 2)
(4)
(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)
(5)
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
解答例
(1)
\begin{aligned}
(2x -3y +z)^2 &= b 4x^2 + 9y^2 +z^2 -12xy -6yz +4zx
\end{aligned}
(2)
\begin{aligned}
(a^3 + a^2 +3a +3) (a^3 -a^2 +3a -3)&= \{(a^3+3a) + (a^2 + 3)\}\{(a^3+3a) - (a^2 + 3)\} \\
&= (a^3+3a)^2 - (a^2 + 3)^2 \\
&= a^6 + 6a^4 +9a^2 -a^4 -6a^2 -9 \\
&= a^6 + 5a^4 +3a^2 -9
\end{aligned}
(3)
ただの分配法則で計算する問題です．
(pq + p^2 + q^3) (3q -2p^2q + 2)
= 3pq^2 - 2p^3q^2 + 2pq +3p^2q -2p^4q +2p^2 -3q^4 +2p^2q^4 -2q^3
(4)
(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)=27x^3+y^3
(5)
覚えておくと，たまに得をする公式です．
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=x^3+y^3+z^3 -3xyz
因数分解
次の式を因数分解せよ．
(1)
3x^2-6x-72
(2)
8x^3-343
(3)
x^3+x^2-9x-9
(4)
x^2-2xy+x-2y^2+7y-6
(5)
x^4-5x^2+4
(6)
x^3 + y^3 + 3xy -1
解答例
因数分解の問題はパズルのようなものです1なんと手持ちのインターナショナルスクールの教科書には因数分解はありませんでした．アメリカの教科書も同じくです．２次方程式の解も平方完成で求めれば良いですから，必要ないという考えなのでしょう．．難しい問題に出会っても，解けるように作られたパズルであることを忘れずに，粘り強く挑戦してみましょう．
(1)
\begin{aligned}
3x^2-6x-72 &= 3(x^2-2x-24) \\
&= 3(x+4)(x-6)
\end{aligned}
(2)8x^3-343 = (2x-7)(4x^2+14+49)
(3)
\begin{aligned}
x^3+x^2-9x-9 &= x^2(x+1)-9(x+1) \\
&= (x+1)(x^2-9) \\
&= (x+1)(x+3)(x-3)
\end{aligned}
(4)
\begin{aligned}
x^2-2xy+x-2y^2+7y-6 &= x^2 -(y-1)x -(y-2)(2y-3) \\
&= (x+y-2)(x-2y+3)
\end{aligned}
(5)
\begin{aligned}
x^4-5x^2+4 &= (x^2-1)(x^2-4) \\
&= (x+1)(x-1)(x+2)(x-2)
\end{aligned}
(6)
公式2a^3 + b^3 + c^3 -3xyz = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab - bc -ca)を使うなら以下のような感じ
\begin{aligned}
x^3 + y^3 + 3xy -1 &= x^3 + y^3 + (-1)^3 + 3xy(-1) \\
&= (x+y-1)(x^2 + y^2 -xy + x + y + 1)
\end{aligned}
公式を使わなくてもx^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y)を用いることで因数分解ができます．
\begin{aligned}
x^3 + y^3 + 3xy -1 &= (x+y)^3-3xy(x+y) -1 + 3xy \\
&= (x+y)^3 + (-1)^3 + 3xy(x + y - 1) \\
&= \{(x+y-1)^3 -3(x+y)(-1)(x + y - 1)\}-3xy(x + y -1) \\
&= (x+y-1)\{(x+y-1)^2 + 3(x+y) -3xy\} \\
&= (x+y-1)(x^2 + y^2 + 1 + 2xy -2x -2y +3x + 3y -3xy) \\
&= (x+y-1)(x^2 + y^2 -xy + x + y + 1)
\end{aligned}
