x^nの導関数
本記事では，n が自然数の場合の f(x) = x^nの導関数を求めたいと思います．
極限を使うので分かりにくと思いますが，証明の流れをなんとなく感じてもらえれば良いと考えています．
また，総和の記号を使いますので，総和の記号 \Sigma が分からない方は以下の記事をご参照ください．
f(x) = x^nの導関数の証明
n が自然数のとき，f(x) = x^n の導関数は f^{\prime}(x) = n x^{n-1} である．
この定理を導関数の定義に従って証明します．
証明．
二項定理を使って，
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k x^{n-k} h^{k} - x^n}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{x^n + \sum_{k=1}^n {}_n \mathrm{C}_k x^{n-k} h^{k} - x^n}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{k=1}^n {}_n \mathrm{C}_k x^{n-k} h^{k}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \left( n x^{n-1} + \sum_{k=2}^n {}_n \mathrm{C}_k x^{n-k} h^{k-1} \right) \\
&= n x^{n-1}
\end{aligned}
f(x) = x^3の導関数を求める
先ほどの証明方法を分かりやすくする意味を込めて，同様の手法で f(x) = x^3 の導関数 f^{\prime}(x)を求めます．
\begin{aligned} f^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{k=0}^3 {}_3 \mathrm{C}_k x^{3-k} h^{k} - x^3}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3 - x^3}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( 3 x^2 + 3 x h + h^2 \right) \\ &= 3 x^{2} \end{aligned}
