三角関数の基礎　〜三角関数の導入とsin,cos,tanの関係〜

前回，前々回の記事で一般角と弧度法について解説しましたので，本記事ではいよいよ三角関数を解説したいと思います．などと仰々しく書いてみましたが，0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} の範囲に拡張された三角比とほとんど変わらないので，気楽に読んでください．

先にネタバラシをすると，\sin，\cos，\tan を一般角まで拡張したものを，まとめて三角関数といいます．

またこれ以降の記事においては，特に断りがない場合，角度の大きさは弧度法により表します．

途中に演習問題もありますが，弧度法に慣れるための練習だと考えてください．

　　

↓前々回の記事↓

一般角と動径

↓前回の記事↓

弧度法　〜ラジアンの定義〜

三角関数の定義

xy座標において，原点\mathrm{O}を中心とする半径rの円を描きます．

x軸の正の側を始線とし，\thetaの動径と円の交点を\mathrm{P}，また\mathrm{P}の座標を(x, y)とします．

このとき，一般角の正弦¹\sin（sine，サイン），余弦²\cos（cosine，コサイン），正接³\tan（tangent，タンジェント）を以下のように定義します．

\begin{aligned} \sin{\theta} &= \frac{y}{r} \\ \\ \cos{\theta} &= \frac{x}{r} \\ \\ \tan{\theta} &= \frac{y}{x}　(ただし，\theta = \frac{\pi}{2} + n \pi (nは整数)のとき定義しない) \end{aligned}

　

数学Ⅰで学習した三角比を一般角に当てはめただけで，形は変わっていません．

また，これら3つの関数をまとめて三角関数といいます．

また定義より，次のことが直ちに導かれます．

\begin{aligned} y = r \sin{\theta} \\ x = r \cos{\theta}\\ \end{aligned}

ここで三角関数の値域について考えてみましょう．
三角関数の値域はそれぞれ以下のようになります．

-1 \leqq \sin{\theta} \leqq 1
-1 \leqq \cos{\theta} \leqq 1
\tan{\theta}は全ての実数を取りうる．

単位円を用いた値の求め方

三角関数の値を素早く求める方法として，単位円を用いる方法があります．単位円とは，半径1の円のことです．

単位円を用いると，
\begin{aligned} \sin{\theta} = y \\ \cos{\theta} = x \\ \tan{\theta} = \frac{y}{x} \end{aligned}
となります．また，\tan{\theta}は，\thetaの動径を直線とみなしたものとx=1との交点の座標を(1, m)とすることで，\tan{\theta}=mとすることもできます．

演習問題

角度\thetaが以下の値をとるとき，\sin{\theta}，\cos{\theta}，\tan{\theta}の値を求めよ．

（1）\begin{aligned} - \frac{\pi}{3} \end{aligned}

（2）\begin{aligned} \frac{\pi}{4} \end{aligned}

（3）\begin{aligned} \frac{5}{6} \pi \end{aligned}

（4）\begin{aligned} \frac{7}{6} \pi \end{aligned}

解答例と解説

（1）
\begin{aligned} \sin{\left( - \frac{\pi}{3} \right)} &= - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \cos{\left( - \frac{\pi}{3} \right)} &= \frac{1}{2} \\ \\ \tan{\left( - \frac{\pi}{3} \right)} &= - \sqrt{3} \end{aligned}

　　

（2）
\begin{aligned} \sin{\frac{\pi}{4}} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \cos{\frac{\pi}{4}} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \tan{\frac{\pi}{4}} &= 1 \end{aligned}

　　

（3）
\begin{aligned} \sin{\frac{5}{6} \pi } &= \frac{1}{2} \\ \\ \cos{\frac{5}{6} \pi} &= - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \tan{\frac{5}{6} \pi} &= - \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}

　　

（4）
\begin{aligned} \sin{\frac{7}{6} \pi } &= - \frac{1}{2} \\ \\ \cos{\frac{7}{6} \pi } &= - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \tan{\frac{7}{6} \pi } &= \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}

三角関数の関係

最後に，数学Ⅰの三角比で成り立っていた以下の3つの式が，三角関数においても成り立つか調べてみましょう．

（1）
\begin{aligned} \tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{aligned}

（2）
\begin{aligned} \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 \end{aligned}

（3）
\begin{aligned} 1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}\\ \end{aligned}

　

（1）について
半径rの円において，
\begin{aligned} \tan{\theta} &= \frac{y}{x} \\ &= \frac{y}{r} \div \frac{x}{r} \\ &= \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{aligned}
ただし，分母が0にならないように\cos{\theta} \neq 0であり，また\theta \neq \frac{\pi}{2} + n \pi(nは整数)のとき\tan{\theta} は定義されていないことから，\theta \neq \frac{\pi}{2} + n \pi(nは整数)のとき（１）は成り立つ．

（2）について
\begin{aligned} \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} &= \left( \frac{y}{r} \right)^2 + \left( \frac{x}{r} \right)^2 \\ &= \frac{x^2 + y^2}{r^2} \end{aligned}
\thetaの動径と円の交点は，円x^2 + y^2 = r^2上の点であるため，
\begin{aligned} \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} &= \frac{x^2 + y^2}{r^2} \\ &= \frac{r^2}{r^2} \\ &= 1 \end{aligned}

（3）について
\cos{\theta} \neq 0のとき（2）の両辺を\cos^2{\theta}で割って，
\begin{aligned} 1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}} \end{aligned}
この式は\cos{\theta} \neq 0，つまり\theta \neq \frac{\pi}{2} + n \pi(nは整数)のとき成り立つ．

　　　

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