不等式の性質

本記事では，不等式の証明に欠かせない，不等式の基本的な性質についてまとめます．

不等式の基本性質

任意の実数a,b に対して，a > b，a = b，a < bのいずれか唯一つが成り立つ．

任意の実数a,b,c に対して，a < b，b < cが成り立つならば，a < cが成り立つ．これを推移律という．

a \leqq bは，a < bもしくはa = bが成り立つことを意味する．また，実数a,b,cに対して，以下の性質が成り立つ．
・a \leqq a（反射律）
・a \leqq bかつb \leqq aならばa = b（反対称律）
・a \leqq b，b \leqq cならば，a \leqq c（推移律）
・a \leqq bかつb \leqq aの少なくとも一方が成り立つ．（全順序性）

次節以降では，「<」で成り立つものは「\leqq」でも成り立ちます．

和に関する不等式の性質

和に関する不等式の基本性質．
任意の実数a,b,c に対して，a > bならば，a + c > b + cが成り立つ．

　

これ以降の命題は，これまでの基本性質と証明済みの命題のみを用いて証明することができます．
また，特に断りがない場合，a,b,c,dは実数とします．

　

命題1．
a > bならば，a - c > b - c

証明．
\begin{aligned} a &> b \\ a + (-c) &> b + (-c) \\ a - c &> b - c \end{aligned}

命題2．
a > 0 \Leftrightarrow -a < 0

証明．
まず「a > 0 ならば-a < 0」を証明する．
\begin{aligned} a &> 0 \\ a - a &> -a \\ 0 &> -a \end{aligned}

続いて，「 -a < 0 ならばa > 0」を証明する．
\begin{aligned} -a &< 0 \\ -a + a &< a \\ 0 &< a \end{aligned}

命題3．
a > bかつc > dならば，a + c > b + d

証明．
\begin{aligned} a &> b \\ a + c &> b + c \end{aligned}
また，
\begin{aligned} c &> d \\ c + b &> d + b \\ b + c &> b + d \end{aligned}
よって，
\begin{aligned} a + c &> b + c > b + d \\ a + c &> b + d \end{aligned}

命題4．
a > bならば，a - b > 0

証明．
\begin{aligned} a &> b \\ a -b &> b -b \\ a - b &> 0 \end{aligned}

命題4によって，移項の操作ができるようになりました．

積に関する不等式の性質

積に関する不等式の基本性質．
任意の実数a,b に対して，a > 0かつb > 0ならば，ab > 0が成り立つ．

命題5．
a < 0かつb < 0ならば，ab > 0

証明．
(-a) > 0かつ(-b) > 0より，
\begin{aligned} (-a)(-b) &> 0 \\ ab &> 0 \end{aligned}

命題6．
a > bかつc > 0ならば，ac > bc

証明．
a > bより，
\begin{aligned} a - b &> 0 \\ \end{aligned}
a - b > 0かつc > 0なので，
\begin{aligned} (a - b)c &> 0 \\ ac - bc &> 0 \\ ac &> bc \\ \end{aligned}

命題7．
a > bかつc < 0ならば，ac < bc

証明．
a > bより，
\begin{aligned} a - b &> 0 \\ \end{aligned}
a - b > 0かつ(-c) > 0なので，
\begin{aligned} (a - b)(-c) &> 0 \\ -ac + bc &> 0 \\ ac &< bc \\ \end{aligned}

この命題を見ると，両辺に負の数を掛けると不等号の向きが変わることが分かります．

命題8．
a < b \Leftrightarrow -a > -b

証明．
まず「a < b ならば-a > -b」を証明する．
\begin{aligned} a &< b \\ a - a &< b - a \\ 0 &< b - a \\ -b &< b - a -b \\ -b &< -a \\ -a &> -b \\ \end{aligned}

続いて，「 -a > -b ならばa < b」を証明する．
\begin{aligned} -a &> -b \\ -a + a &> -b + a \\ 0 &> -b + a \\ b &> -b + a + b \\ b &> a \\ a &< b \end{aligned}

この命題8を見ると，両辺に-1を掛けると不等号の向きが変わることが分かります．
命題8は命題7の特殊なケースです．

命題9．
a > 0ならば，\frac{1}{a} > 0

証明．
\begin{aligned} a \cdot \frac{1}{a} = 1 > 0 \end{aligned}
2つの実数を掛けて正となるのは，両方の実数が正の場合か，両方の実数が負の場合のみなので，
\begin{aligned} \frac{1}{a} > 0 \end{aligned}

命題10．
a > bかつc > 0ならば，\frac{a}{c} > \frac{b}{c}

証明．
c > 0より，\frac{1}{c} > 0
\begin{aligned} a &> b \\ a \cdot \frac{1}{c} &> b \cdot \frac{1}{c} \\ \frac{a}{c} &> \frac{b}{c} \end{aligned}

証明において重要なその他の性質

不等式の性質．
a \geqq 0かつb \geqq 0 のとき
a > b \Leftrightarrow a^2 > b^2

ここから，\sqrt{a} > \sqrt{b} \Leftrightarrow a > bを求めることができます．

ここまで読んで，少し難しめの練習問題を解きたいと思った方には，以下の記事の最後の問題をオススメします．

実数と無理数のお話

　　

また，相加平均と相乗平均の不等式も重要ですが，そちらについては以下の記事で解説しています．

相加平均，相乗平均

　

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