中線定理の証明
本記事では，中線定理（パッポスの定理）を2通りの方法で証明します．
中線定理（パッポスの定理）
\bigtriangleup \mathrm{ABC}において，辺\mathrm{BC}の中点を\mathrm{M}とするとき，以下の等式が成り立つ．
\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 = 2(\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2)
証明1（三角比を用いる）
\angle \mathrm{AMB} = \thetaとする．（\angle \mathrm{AMC} = 180^{\circ} - \theta）
\bigtriangleup \mathrm{ABM}に対して余弦定理を用いて，
\cos{\theta} = \frac{\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2 - \mathrm{AB}^2}{2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM}}
同様に\bigtriangleup \mathrm{ACM}と余弦定理より，
\cos{(180^{\circ} -\theta)} = \frac{\mathrm{AM}^2 + \mathrm{CM}^2 - \mathrm{AC}^2}{2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \mathrm{CM}}
\cos{(180^{\circ} - \theta)} = -\cos{\theta}なので，
\frac{\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2 - \mathrm{AB}^2}{2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM}} = - \frac{\mathrm{AM}^2 + \mathrm{CM}^2 - \mathrm{AC}^2}{2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \mathrm{CM}}
\mathrm{BM} = \mathrm{CM}より，
\begin{aligned}
\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2 - \mathrm{AB}^2 &= -(\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2 - \mathrm{AC}^2) \\
\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 &= 2(\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2)
\end{aligned}
証明2（三平方の定理を用いる）
頂点\mathrm{A}から直線\mathrm{BC}に向かって垂線をおろし，その交点を\mathrm{H}とする．
\bigtriangleup \mathrm{ABH}と\bigtriangleup \mathrm{ACH}に関して，三平方の定理より，
\begin{aligned}
\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 &= (\mathrm{AH}^2 + \mathrm{BH}^2) + (\mathrm{AH}^2 + \mathrm{CH}^2) \\
&= 2\mathrm{AH}^2 + \mathrm{BH}^2 + \mathrm{CH}^2
\end{aligned}
ここで，
\mathrm{BH}^2 + \mathrm{CH}^2 = (\mathrm{BM} + \mathrm{MH})^2 + |\mathrm{CM} - \mathrm{MH}|^2
\mathrm{CM} = \mathrm{BM}なので，
\begin{aligned}
\mathrm{BH}^2 + \mathrm{CH}^2 &= (\mathrm{BM} + \mathrm{MH})^2 + |\mathrm{CM} - \mathrm{MH}|^2 \\
&= (\mathrm{BM} + \mathrm{MH})^2 + (\mathrm{BM} - \mathrm{MH})^2 \\
&= 2\mathrm{BM}^2 + 2\mathrm{MH}^2
\end{aligned}
よって，
\begin{aligned}
\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 &= 2\mathrm{AH}^2 + \mathrm{BH}^2 + \mathrm{CH}^2 \\
&= 2\mathrm{AH}^2 + 2\mathrm{BM}^2 + 2\mathrm{MH}^2 \\
&= 2(\mathrm{AH}^2 + \mathrm{MH}^2) + 2\mathrm{BM}^2 \\
&= 2(\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2)
\end{aligned}
