剰余定理と因数定理
剰余定理と因数定理は，どちらも1次式による整式の割り算に関する定理です．
どちらも重要な定理なので，しっかりと理解し，使いこなせるようになりましょう．
剰余定理
剰余定理．
整式P(x)を1次式 x - a で割った余りはP(a)である．
証明．
P(x)を x - a で割った商をQ，余りをRとすると，
P(x) = (x - a)Q + Rとなる．
ここにx = aを代入すると，
\begin{aligned}
P(a) &= (a - a)Q + R \\
&= 0 \cdot Q + R \\
&= R
\end{aligned}
具体例として，以下の記事で登場した整式の割り算を見てみましょう．
3x^3 -2x + 1を x - 2 で割った商は 3x^2 + 6x + 10 ，余りは 21 となりました．
ここでは剰余定理を使って余りを求めてみましょう．
3x^3 -2x + 1に x = 2 を代入します．
\begin{aligned}
3x^3 -2x + 1 &= 3 \cdot 2^3 -2 \cdot 2 + 1 \\
&= 24 - 4 + 1 \\
&= 21
\end{aligned}
となり，余りの 21 が求まりました．
剰余定理の演習問題
演習．
整式P(x)を x - 1 で割ったときの余りが 2 ， x - 3 で割ったときの余りが 72 のとき， 整式P(x)を x^2 -4x + 3 で割ったときの余りを求めよ．
解答例．
整式P(x)を x^2 -4x + 3 で割った余りの次数は，1次以下になるので，余りを ax + b とおく．
ここで， x^2 -4x + 3 で割った商をQ(x)とおくと，
\begin{aligned}
P(x) &= (x^2 -4x + 3)Q(x) + ax + b \\
&= (x - 1)(x - 3)Q(x) + ax + b
\end{aligned}
となる．
x = 1 のとき， a + b = 2
x = 3 のとき， 3a + b = 72
これらを連立方程式として解くと，a = 35 ，b = -33となるため，
余りは 35x -33である．
因数定理
因数定理．
1次の式 x - a が整式P(x)の因数である \Leftrightarrow P(a) = 0
証明．
剰余定理より，P(a) = 0になるということは，P(x)は x - a で割り切れるということであるため，x - a はP(a) = 0の因数である．逆も同様．
高次式の因数分解
演習．
次の式を因数分解せよ．
x^4 - x^3 -19x^2 -11x + 30
解答例．
P(x) = x^4 - x^3 -19x^2 -11x + 30 とおく．
x = 1のとき，
\begin{aligned}
P(1) &= 1^4 - 1^3 -19 \cdot 1^2 -11 \cdot 1 + 30 \\
&= 1 - 1 - 19 - 11 + 30 \\
&= 0
\end{aligned}
よって，x - 1はP(x)の因数である．
割り算をして，P(x) = (x - 1)(x^3 -19x - 30) ．
同様に，x^3 -19x - 30に x = -2 を代入すると，
(-2)^3 - 19 \cdot (-2) - 30 = -8 + 38 -30 = 0
よって，x + 2 も因数である．
\begin{aligned}
P(x) &= (x - 1)(x^3 -19x - 30) \\
&= (x - 1)(x + 2)(x^2 -2x - 15) \\
&= (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x - 5)
\end{aligned}
したがって，
x^4 - x^3 -19x^2 -11x + 30 = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x - 5)
