数列の極限とその性質

本記事では，数列の極限について解説します．

高校数学までの知識では，「極限」や「収束」を厳密に定義することはできませんが，どうにか「お気持ち」を理解していきましょう．

数列の収束と発散

数列 a_n について，「n を限りなく大きくしていくと， a_n が限りなく定数 \alpha に近づいていく」ことを「数列\{ a_n \} は \alpha に収束する」「数列\{ a_n \} は極限値 \alpha を持つ」などと表現し，以下のような式で表されます．

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \end{aligned}

例えば，数列 \begin{aligned} a_n = \frac{1}{n} \end{aligned} の極限は，

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{aligned} 

となります．
n が大きくなると，数列の値が小さくなっていき，0に近づいていきます．

普段の記事ならばこれを証明するのですが，本記事では証明を行いません．
高校までの知識で厳密な証明はできませんので，このようなものだと思ってください．

ちなみに極限を持たない場合，つまり数列が収束しない場合，その数列は発散するといいます．
発散の仕方には4通りあります．

1. 正の無限大に発散する．つまり n を限りなく大きくしていくと，数列の値も限りなく大きくなっていく．
   （例） \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} 2n = \infty \end{aligned}
   　
2. 負の無限大に発散する．つまり n を限りなく大きくしていくと，数列の値が限りなく小さくなっていく．
   （例） \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} -2n = - \infty \end{aligned}
   　
3. \pm k を交互に繰り返す．これを振動するという．
   （例） \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} (-1)^n \end{aligned}
   　
4. 振動しながら発散する．符号が交互に変わりながら値の絶対値が増加する．無限大に発散もしないし，負の無限大にも発散しない．
   （例） \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} (-3)^n \end{aligned}
   　

数列の極限の性質

数列の極限の性質を紹介します．前節に引き続き，証明はしません．

定理．（極限の性質）
\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \end{aligned} ，\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} b_n = \beta \end{aligned} のとき，次の等式が成り立つ．
（1）
\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} (k a_n + l b_n) = k \alpha + l \beta \end{aligned}

（2）
\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_n b_n = \alpha \beta \end{aligned}

（3）
\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta} \end{aligned}

定理．（はさみうちの原理）
（1）
\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \end{aligned} ，\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} b_n = \beta \end{aligned} のとき，全ての n について a_n \leqq b_n が成り立つならば， \alpha \leqq \beta が成り立つ．

（2）
\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha \end{aligned} のとき，数列 x_n について，全ての自然数 n で a_n \leqq x_n \leqq b_n が成り立つならば，数列 x_n は \alpha に収束する．

はさみうちの原理の使用例

はさみうちの原理を利用して，\begin{aligned} a_n = \frac{\sin{n}}{n} \end{aligned} の極限を求めます．

-1 \leqq \sin{n} \leqq 1 \\
　\\
- \frac{1}{n} \leqq \frac{\sin{n}}{n} \leqq \frac{1}{n} \\
　\\
 \lim_{n \to \infty} - \frac{1}{n} \leqq  \lim_{n \to \infty}  \frac{\sin{n}}{n} \leqq   \lim_{n \to \infty}  \frac{1}{n} \\
　\\
 0 \leqq  \lim_{n \to \infty}  \frac{\sin{n}}{n} \leqq 0 \\
　\\　\\
 \lim_{n \to \infty}  \frac{\sin{n}}{n} = 0

なぜ厳密に定義することが難しいのか

極限を正確に定義するためには「変化の状態」を論理的に記述する必要があります．
この「変化の状態」というのものが曲者で，19世紀にようやく論理的に表せるようになりました．

さて，この「変化の状態」をいったいどのように評価するのかといいますと，不等式による評価を利用します．

例えば，数列 a_n が実数 \alpha に収束することは以下のように定義します．

数列の収束の定義．
どんな小さな正の数 \epsilon > 0 に対しても，ある自然数 n_0 が存在して，n_0 \leqq n を満たす全ての自然数 n に対して，|\alpha - a_n| < \epsilon となることを収束するといい， \alpha を数列 a_n の極限という．

さて，少しだけ大学の数学を覗き見しましたが，詳しくは大学に入ってから学ぶことにしましょう．

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