このページの内容は，以下のページで解説した内容の演習問題です．
演習問題1．
次の式の中から単項式を全て選びなさい．
(a) -3a^3b
(b) -4x^5y^2 + xy
(c) \frac{abc}{de}
(d) \frac{1}{2} a^2 b
(e) -2 s^2 t^2
解答1．
(a)，(d)，(e) が単項式です．
(b) は + があるため単項式ではありません．
(c) は文字の割り算があるため，単項式ではありません．
(d) は数が分数がですが，文字の割り算がないため単項式です．
演習問題2．
次の多項式の係数と次数を答えよ．
(1) -4xy^2z
(2) 5a^5
(3) -21x^4y^5z^3
(4) 2
解答2．
(1) -4xy^2z
係数： -4 次数： 4
(2) 5a^5
係数：5 次数： 5
(3) -21x^4y^5z^3
係数：-21 次数：12
(4) 2
係数：2 次数：0
演習問題3．
次の単項式について，[ ]の中の文字に着目した場合の係数と次数を答えよ．
(1) -4xy^2z [ y ]
(2) 5a^5 [ a ]
(3) -21x^4y^5z^3 [ x と [ z ] ]
解答3．
(1) -4xy^2z [ y ]
係数： -4xz 次数： 2
y 以外の文字 x ， z は数として扱います．
(2) 5a^5 [ a ]
係数： 5 次数： 5
a 以外の文字を数として扱いますが，式の中に a しかないので，通常の場合と変わりません．
(3) -21x^4y^5z^3 [ x と z ]
係数： -21 y^5 次数： 7
y は数として扱います．
演習問題4．
次の計算をせよ．
(1) -ab^3 \times 4 a^3 b^2
(2) 5ab \times (-2 a^2 b^2 c^3)
(3) -13x^2 y z^2 \times (-11) x y^3 z^2
(4) (-2 x y^2 z^3)^3
解答4．
(1) -ab^3 \times 4 a^3 b^2 = -1 \times 4 a^{1 + 3} \times b^{3 + 2} = - 4 a^4 b^5
(2) 5ab \times (-2 a^2 b^2 c^3) = -10 a^3 b^3 c^3
(3) -13x^2 y z^2 \times (-11) x y^3 z^2 = 143 x^3 y^4 z^4
(4) (-2 x y^2 z^3)^3 = -8 x^3 y^6 z^9
演習問題5．
次の式のうち，計算したとき等しくなる式を全て答えよ．
2 x^3 y^3
(-2 x y)^3
(2 x y)^3
8 x^3 y^3
4 x^2 y \times 2 x y^2
4 x^3 y^3
解答5．
(2 x y)^3 ，8 x^3 y^3，4 x^2 y \times 2 x y^2 が等しくなります．
2 x^3 y^3
(-2 x y)^3 = (-2 x y) \times (-2 x y) \times (-2 x y) = - 8 x^3 y^3
(2 x y)^3 = 8 x^3 y^3
8 x^3 y^3
4 x^2 y \times 2 x y^2 = 8 x^3 y^3
4 x^3 y^3
単項式の積の計算は，これからの計算の基礎となります．
以下の指数法則を使いこなして，素早く計算できるようにしましょう．
(a^m)^n = a^{mn}
a^m \times a^n = a^{m+n}
(ab)^n = a^n b^n
演習問題6．
次の多項式の次数と定数項を答えよ．また[ ]の文字に着目した場合の次数と定数項も答えよ．
(1) -4x^4y +12x^2y^2 - 8xy^3 + y^4 + 1 [ y ]
(2) 5abc - 2 a^2bc + 5b^3c^4 + 12 [ a ]
(3) 7x^4y^5z - x^2y^2z + 2y - 23 [ x と z ]
解答6．
(1) -4x^4y +12x^2y^2 - 8xy^3 + y^4 + 1
次数： 5 定数項： 1
y に着目すると，
次数： 4 定数項： 1
(2) 5abc - 2 a^2bc + 5b^3c^4 + 12
次数： 7 定数項： 12
a に着目すると，
次数： 2 定数項： 5b^3c^4 + 12
(3) 7x^4y^5z - x^2y^2z + 2y - 23
次数： 10 定数項： -23
x と z に着目すると，
次数： 5 定数項： 2y - 23
(1)の解説．
それぞれの項の次数は， -4x^4y は次数 5 ， 12x^2y^2 は次数 4 ， - 8xy^3 は次数 4 ， y^4 は次数 4 ， 1 は次数 0 となるため，次数は 5 ，定数項は 1 となります．
y に着目した場合は， -4x^4y は次数 1 ， 12x^2y^2 は次数 2 ， - 8xy^3 は次数 3 ， y^4 は次数 4 ， 1 は次数 0 となるため，次数は 4 ，定数項は 1 となります．
(2)の解説．
それぞれの項の次数は， 5abc は次数 3 ， - 2 a^2bc は次数 4 ， 5b^3c^4 は次数 7 ， 12 は次数 0 となるため，次数は 5 ，定数項は 12 となります．
a に着目した場合は，それぞれの項の次数は， 5abc は次数 1 ， - 2 a^2bc は次数 2 ， 5b^3c^4 は次数 0 ， 12 は次数 0 となるため，次数は 2 ，定数項は 5b^3c^4 + 12 となります．
(3)の解説．
それぞれの項の次数は， 7x^4y^5z は次数 10 ， - x^2y^2z は次数 5 ， 2y は次数 1 ， - 23 は次数 0 となるため，次数は 10 ，定数項は -23 となります．
x と z に着目した場合は，それぞれの項の次数は， 7x^4y^5z は次数 5 ， - x^2y^2z は次数 3 ， 2y は次数 0 ， - 23 は次数 0 となるため，次数は 5 ，定数項は 2y - 23 となります．
演習問題7．
次の多項式を[ ]の中の文字に着目して，降べきの順に整理せよ．
(1) -4x^4y +12x^2y^2 - 8xy^3 + y^4 + 1 [ y ]
(2) 12x^2 - 8 - 12x^3 + 10x [ x ]
解答7．
(1) y^4 - 8xy^3 +12x^2y^2 -4x^4y + 1
(2) -12x^3 + 12x^2 + 10x - 8
演習問題8．
次の整式の同類項をまとめよ．
-2a^2b -2a^2 + 4a^2b -ab -5ab +7a + 5b^2 +12
解答8．
-2a^2b -2a^2 +4a^2b -ab -5ab +7a + 5b^2 +12 \\
= (-2 + 4)a^2b -2a^2 + (-1 -5) ab +7a + 5b^2 + 12 \\
= 2 a^2b -2a^2 -6ab + 7a + 5b^2 +12
演習問題9．
A = 5x^4 - 2x^3 - 3x^2 - 4x + 2y - 9 ，
B = x^4 - x^3 - 2x^2 + x + 3y のとき
A + B と A - B を求めよ．
解答9．
A + B \\
= 5x^4 - 2x^3 - 3x^2 - 4x + 2y - 9 + x^4 - x^3 - 2x^2 + x + 3y \\
= (5 + 1)x^4 + (-2 - 1)x^3 + (- 3 - 2)x^2 + (-4 + 1)x + (2 + 3)y -9 \\
= 6x^4 - 3x^3 - 5x^2 - 3x + 5y -9
A - B \\
= 5x^4 - 2x^3 - 3x^2 - 4x + 2y - 9 - (x^4 - x^3 - 2x^2 + x + 3y) \\
= 5x^4 - 2x^3 - 3x^2 - 4x + 2y - 9 - x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3y\\
= (5 - 1)x^4 + (-2 + 1)x^3 + (- 3 + 2)x^2 + (-4 - 1)x + (2 - 3)y -9 \\
= 4x^4 - x^3 - x^2 - 5x - y -9
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