[演習問題] 1-1. 単項式，多項式，整式

解答1．
　(a)，(d)，(e) が単項式です．

(b) は $+$ があるため単項式ではありません．
(c) は文字の割り算があるため，単項式ではありません．
(d) は数が分数がですが，文字の割り算がないため単項式です．

解答2．

(1) $-4xy^2z$
係数：$-4$　次数：$4$

(2) $5a^5$
係数：$5$　次数：$5$

(3) $-21x^4y^5z^3$
係数：$-21$　次数：$12$

(4) $2$
係数：$2$　次数：$0$

解答3．
(1) $-4xy^2z$　　[ $y$ ]
係数：$-4xz$　次数：$2$
$y$ 以外の文字 $x$ ，$z$ は数として扱います．

(2) $5a^5$　　[ $a$ ]
係数：$5$　次数：$5$
$a$ 以外の文字を数として扱いますが，式の中に $a$ しかないので，通常の場合と変わりません．

(3) $-21x^4y^5z^3$　　[ $x$ と $z$ ]
係数：$-21 y^5$　次数：$7$
$y$ は数として扱います．

解答4．

(1) $-ab^3 \times 4 a^3 b^2 = -1 \times 4 a^{1 + 3} \times b^{3 + 2} = - 4 a^4 b^5$

(2) $5ab \times (-2 a^2 b^2 c^3) = -10 a^3 b^3 c^3$

(3) $-13x^2 y z^2 \times (-11) x y^3 z^2 = 143 x^3 y^4 z^4$

(4) $(-2 x y^2 z^3)^3 = -8 x^3 y^6 z^9$

解答5．
　$(2 x y)^3$，$8 x^3 y^3$，$4 x^2 y \times 2 x y^2$ が等しくなります．

$2 x^3 y^3$
$(-2 x y)^3 = (-2 x y) \times (-2 x y) \times (-2 x y) = - 8 x^3 y^3$
$(2 x y)^3 = 8 x^3 y^3$
$8 x^3 y^3$
$4 x^2 y \times 2 x y^2 = 8 x^3 y^3$
$4 x^3 y^3$

単項式の積の計算は，これからの計算の基礎となります．
以下の指数法則を使いこなして，素早く計算できるようにしましょう．
$(a^m)^n = a^{mn}$
$a^m \times a^n = a^{m+n}$
$(ab)^n = a^n b^n$

解答6．
　
(1) $-4x^4y +12x^2y^2 - 8xy^3 + y^4 + 1$
次数：$5$　　定数項：$1$
$y$ に着目すると，
次数：$4$　　定数項：$1$

(2) $5abc - 2 a^2bc + 5b^3c^4 + 12$
次数：$7$　　定数項：$12$
$a$ に着目すると，
次数：$2$　　定数項：$5b^3c^4 + 12$

(3) $7x^4y^5z - x^2y^2z + 2y - 23$
次数：$10$　　定数項：$-23$
$x$ と $z$ に着目すると，
次数：$5$　　定数項：$2y - 23$

(1)の解説．
　それぞれの項の次数は，$-4x^4y$ は次数 $5$，$12x^2y^2$ は次数 $4$，$- 8xy^3$ は次数 $4$，$y^4$ は次数 $4$，$1$ は次数 $0$ となるため，次数は $5$ ，定数項は $1$ となります．
　$y$に着目した場合は，$-4x^4y$ は次数 $1$，$12x^2y^2$ は次数 $2$，$- 8xy^3$ は次数 $3$，$y^4$ は次数 $4$，$1$ は次数 $0$ となるため，次数は $4$ ，定数項は $1$ となります．


(2)の解説．
　それぞれの項の次数は，$5abc$ は次数 $3$，$- 2 a^2bc$ は次数 $4$，$5b^3c^4$ は次数 $7$，$12$ は次数 $0$ となるため，次数は $5$ ，定数項は $12$ となります．
　$a$に着目した場合は，それぞれの項の次数は，$5abc$ は次数 $1$，$- 2 a^2bc$ は次数 $2$，$5b^3c^4$ は次数 $0$，$12$ は次数 $0$ となるため，次数は $2$ ，定数項は $5b^3c^4 + 12$ となります．

(3)の解説．
　それぞれの項の次数は，$7x^4y^5z$ は次数 $10$，$- x^2y^2z$ は次数 $5$，$2y$ は次数 $1$，$- 23$ は次数 $0$ となるため，次数は $10$ ，定数項は $-23$ となります．
　$x$ と $z$ に着目した場合は，それぞれの項の次数は，$7x^4y^5z$ は次数 $5$，$- x^2y^2z$ は次数 $3$，$2y$ は次数 $0$，$- 23$ は次数 $0$ となるため，次数は $5$ ，定数項は $2y - 23$ となります．

解答7．
(1) $y^4 - 8xy^3 +12x^2y^2 -4x^4y + 1$
(2) $-12x^3 + 12x^2 + 10x - 8$

解答8．
$-2a^2b -2a^2 +4a^2b -ab -5ab +7a + 5b^2 +12 \\ = (-2 + 4)a^2b -2a^2 + (-1 -5) ab +7a + 5b^2 + 12 \\ = 2 a^2b -2a^2 -6ab + 7a + 5b^2 +12$

解答9．
$A + B \\ = 5x^4 - 2x^3 - 3x^2 - 4x + 2y - 9 + x^4 - x^3 - 2x^2 + x + 3y \\ = (5 + 1)x^4 + (-2 - 1)x^3 + (- 3 - 2)x^2 + (-4 + 1)x + (2 + 3)y -9 \\ = 6x^4 - 3x^3 - 5x^2 - 3x + 5y -9$

$A - B \\ = 5x^4 - 2x^3 - 3x^2 - 4x + 2y - 9 - (x^4 - x^3 - 2x^2 + x + 3y) \\ = 5x^4 - 2x^3 - 3x^2 - 4x + 2y - 9 - x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3y\\ = (5 - 1)x^4 + (-2 + 1)x^3 + (- 3 + 2)x^2 + (-4 - 1)x + (2 - 3)y -9 \\ = 4x^4 - x^3 - x^2 - 5x - y -9$