[演習問題]1-4. 有理数，無理数，実数　〜循環小数の演習〜

解答1．
(1) \begin{aligned} \frac{1}{9} = 0. \dot{1} \end{aligned}

(2) \begin{aligned} \frac{1}{7} = 0.\dot{1}4285\dot{7} \end{aligned}

(3) \begin{aligned} \frac{5}{11} = 0.\dot{4}\dot{5} \end{aligned}

(4) \begin{aligned} \frac{3}{7} = 0.\dot{4}2857\dot{1} \end{aligned}

解答2．
(1) 0. \dot{6}
x = 0. \dot{6} とおく．
10x = 6. \dot{6}
\begin{aligned} 10x - x &= 6 \\ 9x &= 6 \\ x &= \frac{2}{3} \end{aligned}
よって，
\begin{aligned} 0. \dot{6} = \frac{2}{3} \end{aligned}

(補足)
\begin{aligned} 　　10 &x&= 6 &.6666 \cdots \\ - \large{)} 　　&x&= 0 &.6666 \cdots \\ \hline  9 &x &= 6 & \\ &x &= \frac{2}{3} & \end{aligned}


(2) 0. \dot{1} \dot{3}
x = 0. \dot{1} \dot{3} とおく．
100x = 13. \dot{1} \dot{3}
\begin{aligned} 100x - x &= 13 \\ 99x &= 13 \\ x &= \frac{13}{99} \end{aligned}
よって，
\begin{aligned} 0. \dot{1} \dot{3} = \frac{13}{99} \end{aligned}

(補足)
\begin{aligned} 　　100 &x&= 13&.1313 \cdots \\ - \large{)}　　 &x&= 0&.1313 \cdots \\ \hline 99&x &= 13 \\ &x &= \frac{13}{99} \end{aligned}


(3) 0. \dot{9} \dot{0}
x = 0. \dot{9} \dot{0} とおく．
100x = 90. \dot{9} \dot{0}
\begin{aligned} 100x - x &= 90 \\ 99x &= 90 \\ x &= \frac{10}{11} \end{aligned}
よって，
\begin{aligned} 0. \dot{9} \dot{0} = \frac{10}{11} \end{aligned}

(補足)
\begin{aligned} 　　100 &x &= 90&.9090 \cdots \\ - \large{)}　　 &x &= 0&.9090 \cdots \\ \hline 99&x &= 90 \\ &x &= \frac{10}{11} \end{aligned}


(4) 0. \dot{1} 8 \dot{3}
x = 0. \dot{1} 8 \dot{3} とおく．
1000x = 183. \dot{1} 8 \dot{3}
\begin{aligned} 1000x - x &= 183 \\ 999x &= 183 \\ x &= \frac{61}{333} \end{aligned}
よって，
\begin{aligned} 0. \dot{1} 8 \dot{3} = \frac{61}{333} \end{aligned}

(補足)
\begin{aligned} 　　1000 &x &= 183&.183183 \cdots \\ - \large{)}　　&x &= 　0&.183183 \cdots \\ \hline 999&x &= 183 & \\ &x &= \frac{183}{999} & \\ & &= \frac{61}{333} & \end{aligned}


(5) 0.1 \dot{9}
x = 0. 1\dot{9} とおく．
10x = 1.9 \dot{9}
\begin{aligned} 10x - x &= 1.9 - 0.1 \\ 9x &= 1.8 \\ 90x &= 18 \\ x &= \frac{1}{5} \end{aligned}
よって，
\begin{aligned} 0.1 \dot{9} = \frac{1}{5} \end{aligned}

(補足)
\begin{aligned} 　　10 &x &= 1&.99999 \cdots \\ - \large{)}　　 &x &= 0&.199999 \cdots \\ \hline 9&x &= 1.8 \\ &x &= \frac{18}{90} \\ & &= \frac{1}{5} \end{aligned}

　まず，「私はずっと 9 を書き続けます．よって私は間違えていません」という主張は間違えていないように見える．前問の演習問題2の(5)より， \frac{1}{5} = 0.1 \dot{9} であることが示されているためである．
　しかし，青年には寿命がある．よって 9 を「無限に」書き続けることはできない．どこかで終わりがやってくる．よって「9 を書き続ける」という方法で， 1\div 5 = 0.1 \dot{9} を表すことはできないため，青年の主張は受け入れられないと考えるのが妥当だろう．

　そして「 1\div 5 = 0.1 」と書いてしまった場合の最善手は，「 1\div 5 = 0.1 \dot{9} 」と書くことである．