総和Σと総乗Π
今後の記事のために，総和の記号\sumと総乗の記号\prodを導入したいと思います．なお総和の記号\sumは，数学Bの数列にて登場します．
総和の導入
n個のデータの平均を求めるときなど，添字のついた文字1x_1, x_2, x_3のような．をすべて足すことが求められる場合があります．n個のデータの平均を高校の教科書どおりに書くと，
\frac{1}{2} \left( x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{n-1} + x_n \right)となります．これを総和記号を使うと，
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n x_iと書くことができます．短くなっている上に，省略を表す3点リーダを使う必要がなくなりました．
ちなみに記号\sumは，sumの頭文字sに対応するギリシャ文字のシグマ(大文字)です．
総和記号Σの使い方
総和記号の基本的な使い方から説明します．
\sum_{i=1}^n (式)この表記では，iの値を1から始め，iの値がnになるまで1ずつ増やしながら，それぞれのiの値に対応する式を足し合わせます．最もシンプルなのは，以下の式です．
\sum_{i=1}^n x_i = x_1+x_2+ \cdots + x_n具体的な数字を入れてみます．ちなみに記号iは別の記号を用いても問題ありません．
x_1 = 1，x_2 = 4，x_3 = 2とする．\\
\sum_{i=1}^3 x_i = 1 + 4 + 2 =7 \\
\sum_{j=1}^3 x_j = 1 + 4 + 2 =7 \\
\sum_{k=1}^3 2x_k = 2 + 8 + 4 = 14 添字付きの記号を使わずに直書きもできます．
\sum_{n=1}^3 n = 1 + 2 + 3 = 6 \\
\sum_{n=1}^3 \frac{n}{2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 3さらに，記号を無視することも可能です．
\sum_{n=1}^3 a = a + a + a = 3a無限に足し合わせることもできます2以下の等式が気になった人は，リーマンゼータ関数やバーゼル問題で検索してみてください．．
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \cdots =\frac{\pi^2}{6}さらに，有限集合または可算無限集合に対して，以下のような書き方もできます．
A = \{2,4,6\}とする．\\
\sum_{a \in A}3a = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 36総和の性質
総和には以下の法則が成り立ちます．
\sum_{i=1}^n kx_i = k\sum_{i=1}^n x_i\sum_{i=1}^n(x_i + y_i) = \sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n y_i\sum_{i=1}^n a = naもちろん，3つを組み合わせて，以下のような等式も成り立ちます．
\sum_{i=1}^n k(a + x_i) = kna + k\sum_{i=1}^n x_i これらの性質を使うと便利になる一例が，次の命題の証明です．
命題．
n個のデータx_1, x_2 , \cdots x_nの平均を\overline{x}，分散をs^2，n個のデータの2乗の平均を\overline{x^2}とするとき，以下の等式が成り立つ．
s^2 = \overline{x^2} - \left( \overline{x} \right)^2
証明．
\begin{aligned}
s^2 &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \\
&= \frac{1}{n} \left\{ \sum_{i=1}^n x_i^2 -2 \sum_{i=1}^n \overline{x} x_i + \sum_{i=1}^n (\overline{x})^2 \right\} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\overline{x} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i + \frac{1}{n} n(\overline{x})^2 \\
&= \overline{x^2} -2\left( \overline{x} \right)^2 + \left( \overline{x} \right)^2 \\
&= \overline{x^2} -\left( \overline{x} \right)^2
\end{aligned}
たまに使う重要な等式をもうひとつ示します．
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_i y_j =\sum_{i=1}^n x_i\sum_{j=1}^n y_jx_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + x_2y_2 + x_3y_1 + x_3y_2= (x_1 + x_2 + x_3)(y_1 + y_2)のような具体例を考えると，納得できるかと思います．こちらを用いて，次のような問題に対してシンプルな解答を書くことができます．
問題．
720の正の約数を全て足した値を計算せよ．
解答例．
720を素因数分解すると，720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5となるので，約数の和Sは，
\begin{aligned}
S &= \sum_{i=0}^4\sum_{j=0}^2\sum_{k=0}^1 2^i 3^j 5^k \\
&= \sum_{i=0}^4 2^i \sum_{j=0}^2 3^j \sum_{k=0}^1 5^k \\
&= (1+2+4+8+16)(1+3+9)(1+5) \\
&= 31 \cdot 13 \cdot 6 \\
&= 2418
\end{aligned}
総乗の導入
乗算の場合も同様に，総乗があります．
\prod_{i=1}^n x_i = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_n記号\prodは，productの頭文字pに対応するギリシャ文字のパイ(大文字)です．
高校数学で目にすることは少ないと思いますが，今後の記事の布石として紹介だけしておきます．
