複素数の基礎
数学Ⅱでは，2乗すると-1になる不思議な数 i を定義します．
この記事では，i によって拡張された実数より広い数の世界，複素数の基本的な性質をまとめます．
複素数について
実数 x の2乗 x^2 は0以上の数になります．
そこで2乗して負の数になる数を考えましょう．i^2 = -1 となる数 i を定めます．このような i のことを虚数単位とよびます．さらに実数 a，b に対して，a + bi の形の数を考えます．この形で表される数を複素数といいます．b = 0のとき， a + bi は実数です．一方で a = 0のとき，つまり biで表される数のことを虚数と呼びます．
複素数 a + bi の，aの部分を実部，b の部分を虚部といいます．
加減乗除の計算
a，b，c，dを実数とします．
足し算と引き算は，実部同士，虚部同士で計算します．
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
掛け算は以下のようになります．
\begin{aligned}
(a + bi)(c + di) &= ac + adi + bci -bd \\
&= (ac -bd) + (ad + bc)i
\end{aligned}
割り算は以下のようにまります．後の節で登場する共役複素数を掛けることで，分母を実数にします．分母の有理化に似ていますね．
\begin{aligned}
\frac{a + bi}{c + di} &= \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} \\
&= \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i
\end{aligned}
負の数の平方根
虚数を定義することで，負の2乗根(\sqrt{x} (x < 0))についても考えられるようになりました．
例えば，\sqrt{-3}=\sqrt{3}i となります．計算順にルールがありまして，根号の中が負の数の場合は，i を外に出してから他の計算を行います．
\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-5}の場合，\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-5} = \sqrt{3}i \cdot \sqrt{5}i = -\sqrt{15} が正しい計算の順序です．
共役複素数
複素数 a + bi の虚部の符号を変えた a - bi のことを， a + bi の共役複素数といいます．複素数 \alpha = a + bi の共役複素数を \overline{\alpha} と表します．
\alpha，\beta が複素数，k が実数のとき，共役複素数に関して以下の性質が成り立ちます．
- \alpha \overline{\alpha} は実数である．
- \alpha + \overline{\alpha} は実数である．
- \overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}
- \overline{\alpha - \beta} = \overline{\alpha} - \overline{\beta}
- \overline{\alpha \beta} = \overline{\alpha} \overline{\beta}
- \overline{\left( \frac{\alpha}{\beta} \right)} = \frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}
- \overline{k} = k
証明1．\alpha \overline{\alpha} は実数である．
\alpha = a +biとおくと， \overline{\alpha} = a - biである．
\begin{aligned}
\alpha \overline{\alpha} &= (a +bi)(a - bi)\\
&= a^2 +b^2
\end{aligned}
よって，\alpha \overline{\alpha} は実数である．
証明2．\alpha + \overline{\alpha} は実数である．
\alpha = a +biとおくと， \overline{\alpha} = a - biである．
\begin{aligned}
\alpha + \overline{\alpha} &= (a +bi) + (a - bi)\\
&= 2a
\end{aligned}
よって，\alpha + \overline{\alpha} は実数である．
証明3．\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}
\alpha = a +bi，\beta = c + di とおく．
\begin{aligned}
\overline{\alpha + \beta} &= \overline{(a +bi) + (c + di)}\\
&= \overline{(a + c) + (b + d)i} \\
&= (a + c) - (b + d)i \\
&= (a - bi) + (c - di) \\
&= \overline{\alpha} + \overline{\beta}
\end{aligned}
証明4．\overline{\alpha - \beta} = \overline{\alpha} - \overline{\beta}
\alpha = a +bi，\beta = c + di とおく．
\begin{aligned}
\overline{\alpha - \beta} &= \overline{(a +bi) - (c + di)}\\
&= \overline{(a - c) + (b - d)i} \\
&= (a - c) - (b - d)i \\
&= (a - bi) - (c - di) \\
&= \overline{\alpha} - \overline{\beta}
\end{aligned}
証明5．\overline{\alpha \beta} = \overline{\alpha} \overline{\beta}
\alpha = a +bi，\beta = c + di とおく．
\begin{aligned}
\overline{\alpha \beta} &= \overline{(a +bi)(c + di)}\\
&= \overline{(ac -bd) + (ad + bc)i} \\
&= (ac -bd) - (ad + bc)i \\
&= (a - bi)(c - di) \\
&= \overline{\alpha} \overline{\beta}
\end{aligned}
証明6．\overline{\left( \frac{\alpha}{\beta} \right)} = \frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}
\alpha = a +bi，\beta = c + di とおく．
\begin{aligned}
\overline{\left( \frac{\alpha}{\beta} \right)} &= \overline{\left( \frac{(a +bi)}{(c + di)} \right)} \\
&= \overline{\left( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i \right)} \\
&= \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} - \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i \\
&= \frac{(a - bi)(c + di)}{(c - di)(c + di)} \\
&= \frac{(a - bi)}{(c - di)} \\
&= \frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}
\end{aligned}
証明7．\overline{k} = k
\overline{k} = \overline{k + 0i} = k -0i = k
